Olimpíadas ⇒ Produtos notáveis e expressão algébrica

[CarlGauss95]

Por favor resolver usando multiplicação de polinômios e produtos notáveis!!! OBS: NÃO USAR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS!!!
[tex3](x + \sqrt{1 + x^2})(y + \sqrt{1 + y^2}) = 1 \quad \\\\
(x+y)^2=?[/tex3]

Resposta

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(x+y)^2=0

[petrasMOD]

[tex3](x + \sqrt{1 + x^2})(y + \sqrt{1 + y^2}) = 1 \quad \text{(I)}[/tex3]
[tex3]y + \sqrt{1 + y^2} = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}}[/tex3]
Racionalizando:[tex3]y+ \sqrt{1 + y^2} = \frac{\sqrt{1 + x^2} - x}{(\sqrt{1 + x^2} + x)(\sqrt{1 + x^2} - x)}[/tex3]
Aplicando o produto notável no denominador:[tex3](\sqrt{1 + x^2})^2 - x^2 = 1 + x^2 - x^2 = 1\\\\\therefore y + \sqrt{1 + y^2} = \sqrt{1 + x^2} - x \quad \text{(II)}[/tex3]

Isolando o termo de x e multiplicar pelo conjugado de y na equação (I):
[tex3]x + \sqrt{1 + x^2} = \frac{1}{y + \sqrt{1 + y^2}}[/tex3]
Multiplicamos pelo conjugado [tex3](\sqrt{1+y^2} - y):\\x + \sqrt{1 + x^2} = \frac{\sqrt{1 + y^2} - y}{(\sqrt{1 + y^2} + y)(\sqrt{1 + y^2} - y)}\\x + \sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + y^2} - y \quad \text{(III)}[/tex3]

(II)+(III) [tex3](y + \cancel{\sqrt{1 + y^2})} + (x + \cancel{\sqrt{1 + x^2}}) = (\cancel{\sqrt{1 + x^2}} - x) + \cancel{(\sqrt{1 + y^2}} - y)\\\\
y + x = -x - y \implies 2x + 2y = 0 \therefore (x + y) = 0 \implies (x+y)^2 = 0^2 = \boxed{0_{//}}[/tex3]