Ensino Superior ⇒ (ENAD 2005) Polinômio Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considere [tex3]P(x)=(m-4)(m^2+4)x^5+x^2+kx+1[/tex3] um polinômio na variável [tex3]x[/tex3], em que [tex3]m[/tex3] e [tex3]k[/tex3] são constantes reais. Assinale a opção que apresenta condições a serem satisfeitas pelas constantes [tex3]m[/tex3] e [tex3]k[/tex3] para que [tex3]P(x)[/tex3] não admita raiz real.

(A) [tex3]m=4[/tex3] e [tex3]{-}2 < k < 2[/tex3].
(B) [tex3]m=-4[/tex3] e [tex3]k > 2[/tex3].
(C) [tex3]m=-2[/tex3] e [tex3]{-}2 < k < 2[/tex3].
(D) [tex3]m=4[/tex3] e [tex3]k < 2[/tex3].
(E) [tex3]m=-2[/tex3] e [tex3]k > -2[/tex3]

Resposta

---

(A)

[jneto]

Boa noite,

Inicialmente, do teorema fundamental da álgebra, essa equação possuiria 5 raízes. Além disso, as raízes complexas devem ocorrer aos pares. Portanto, para que [tex3]P(x)[/tex3] não possua raiz real, primeiro que o coeficiente do termo [tex3]x^{5}[/tex3] deve ser nulo:

[tex3](m - 4)(m^{2} + 4) = 0 \to \boxed{m = 4}[/tex3]

Pois é afirmado no enunciado que [tex3]m[/tex3] é real.

Ficamos com:

[tex3]P(x) = x^{2} + kx + 1[/tex3]

Ou seja, a nossa velha conhecida, equação do segundo grau......agora, para que a mesma não possua raiz real, o discriminante deve ser negativo:

[tex3]\Delta = k^{2} - 4 \,<\, 0 \to \boxed{-2\,<\,k\,<\,2}[/tex3]

Resposta: Alternativa A

Fiquem com Deus

[Natan]

jneto, poderia me explicar essa parte:


Inicialmente, do teorema fundamental da álgebra, essa equação possuiria 5 raízes. Além disso, as raízes complexas devem ocorrer aos pares. Portanto, para que [tex3]P(x)[/tex3] não possua raiz real, primeiro que o coeficiente do termo [tex3]x^{5}[/tex3] deve ser nulo:

porque deve ser nulo?, não entendi.

[jneto]

Boa noite Natan,

Fato: seja uma equação polinomial com coeficientes reais, se [tex3]z[/tex3] é solução, [tex3]\overline{z}[/tex3] também o é:

[tex3]P(\overline{z}) = \sum_{k=0}^{n} a_{k}\overline{z}^{k} = \overline{\sum_{k=0}^{n} a_{k}z^{k}} = \overline{P(z)}[/tex3]

Portanto, se [tex3]P(z) = 0[/tex3], segue que [tex3]\overline{z}[/tex3] é raiz. Então, se existem raízes complexas, as mesmas ocorrem aos pares. No caso, extremo, sendo uma equação de grau 5, temos 2 pares de raízes complexas e a raiz restante necessariamente é real. Como o problema exige que não existam raizes reais, o único jeito é que a equação dada não seja de grau 5, por isso é necessário forçar que o coeficiente respectivo seja nulo. Com isso, ficamos com uma equação do segundo grau, e forçando o discriminante ser negativo, chegamos nas condições que o problema pede.

Fique com Deus

[Natan]

Ahhhhhhhh tá, entendido.

mas e se no caso ela fosse do quarto grau teria como?, se fosse assim:

[tex3]P(x)=(m-4)(m^2+4)x^4+x^2+kx+1[/tex3]

[jneto]

Ahhhhhhhh tá, entendido.

mas e se no caso ela fosse do quarto grau teria como?, se fosse assim:

[tex3]P(x)=(m-4)(m^2+4)x^4+x^2+kx+1[/tex3]

Boa noite,

Bem, no caso de uma equação do quarto grau, temos as seguintes possibilidades: 2 pares de raízes complexas, 1 par complexo e duas raízes reais; e 4 raízes reais. Novamente, no caso em questão, um modo de garantir a inexistência de raízes reais é forçando o respectivo coeficiente ser nulo; mas não seria a solução mais geral, porque (talvez, só analisando) poderíamos ter o caso com 4 raízes reais e dentro de um contexto geral, acredito (posso estar errado é claro) que só analisando de forma mista: com técnicas analíticas e numéricas.
Mas não se esqueça que é uma questão de exame, ou seja, tem que ser solúvel sem precisar de recursos não permitidos (calculadoras, computadores, etc).


Fique com Deus