Ensino Fundamental ⇒ Congruência Linear Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Calcular o resto da divisão de ([tex3]2006^{2006}+2004^{2004})^{2005}[/tex3] por [tex3]5[/tex3].

Resposta

---

2

[triplebig]

[tex3]2006\equiv 1 \text{ (mod 5)}\text{ e }2004\equiv -1 \text{ (mod 5)}[/tex3] .

Subsituindo:

[tex3]\(1^{2006}+(-1)^{2004}\)^{2005}=2^{2005}[/tex3]

Como [tex3]2005[/tex3] é um número da forma [tex3]4n+1[/tex3] , ele deixa resto [tex3]2[/tex3] .

[Natan]

Oi triplebig, poderia por favor me explicar por que a troca no trecho abaixo é válida?


[tex3]2006\equiv 1 \text{ (mod 5)}\text{ e }2004\equiv -1 \text{ (mod 5)} .[/tex3]
Subsituindo:

[tex3]\(1^{2006}+(-1)^{2004}\)^{2005}=2^{2005}[/tex3]

[triplebig]

Propriedade de módulos.

Se [tex3]k^n\equiv r { (\mod p) ,}[k{ (\mod p)}]^n\equiv r[/tex3]

Provar isto é um pouco mais difícil, mas dá para observar:

[tex3]6^2\equiv6^3\equiv 6^4 { (\mod 5)}[/tex3]

[tex3]4^1\equiv -4^2\equiv 4^3\equiv -4^4 (\mod 5)[/tex3]

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