Ensino Médio ⇒ (Trigonometria) Inequações trigonométricas Tópico resolvido

[Epcar26]

Resolva as seguintes inequações:

[tex3]\frac{cos²(2x)}{cos²x}\geq 3tgx[/tex3]

[snooplammer]

[tex3]\frac{\cos²(2x)}{\cos²x}\geqslant 3\tg x [/tex3]

[tex3]\frac{\cos^2 2x }{\cos^2 x} - 3 \tg x \geqslant0[/tex3]

[tex3]\frac{\cos^2 2x - 3\tg x \cos^2 x}{\cos^2 x} \geqslant 0[/tex3]

Como [tex3]\cos^2 x[/tex3] é sempre maior ou igual a 0, temos que não pode ser 0, pois a divisão por zero não está bem definida no contexto da questão. Então segue que [tex3]\cos x \neq \frac{\pi}{2}+ k\pi[/tex3]

E segue que [tex3]\cos^2 2x - 3\tg x \cos^2 x = \cos^2 2x - \frac{3}{2}\sen 2x [/tex3] tem que ser maior ou igual a 0.

Mas, [tex3]\sen^2 2x + \cos^2 2x = 1 \iff \cos^2 2x = 1- \sen^2 2x[/tex3], segue que

[tex3]\cos^2 2x - \frac{3}{2}\sen 2x \geqslant 0 [/tex3]
[tex3](1- \sen^2 2x) - \frac{3}{2}\sen 2x \geqslant 0 [/tex3]

Uma inequação quadrática. Deixo para ti esse trabalho final.