IME/ITA ⇒ (Escola naval - 2019) MHS Tópico resolvido

[JohnnyEN]

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A figura (2) acima mostra um sistema massa-mola em equilíbrio estático, cuja mola possui constante elástica [tex3]k[/tex3] e o bloco, massa [tex3]m[/tex3], prestes a ser atingido por um projétil, de massa desprezível, que em seguida no bloco se aloja, passando o sistema mola+projétil+bloco a oscilarem MHS com uma frequência angular [tex3]w[/tex3]. Sendo [tex3]g[/tex3] a aceleração da gravidade local e sabendo que o ponto mais alto que o bloco+projétil atinge coincide com o zero da mola, conforme a figura (4), qual a velocidade [tex3]v’[/tex3] adquirida pelo bloco+projétil imediatamente após a colisão figura (3) e, qual é a amplitude do MHS executado pelo sistema?

A) [tex3]v'= g(2-m)\sqrt{\frac{m}{k}}[/tex3] e amplitude [tex3]= \frac{g}{w^{2}}[/tex3]
B) [tex3]v'= g(2-m)\sqrt{\frac{m}{k}}[/tex3] e amplitude [tex3]= \frac{w^{2}g}{k}[/tex3]
C) [tex3]v'= g\sqrt{\frac{(2-m)m}{k}}[/tex3] e amplitude [tex3]= \frac{g}{w^{2}}[/tex3]
D) [tex3]v'= g\sqrt{\frac{(2-m)m}{k}}[/tex3] e amplitude [tex3]= \frac{w^{2}g}{k}[/tex3]
E) [tex3]v'= g\sqrt{\frac{m}{k}}[/tex3] e amplitude [tex3]= \frac{g}{w^{2}}[/tex3]

Resposta

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GAB: E

[LostWalker]

Note o trecho "um projétil, de massa desprezível, [...]", significa para esta conta que as forças continuarão ser provenientes de massa e da mola e o projétil apenas iniciou o movimento.

Para iniciar, vamos calcular a distensão inicial da mola, sabendo que a Força da Mola e o Peso do objeto estão em equilíbrio (fig 2)

[tex3]F_{mola}=P\\k\cdot x_d = mg\\\boxed{x_d=\frac{mg}{k}}[/tex3]

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Vamos usar Conservação de Energia.

[tex3]E_i=E_f\\\frac{m{v'}^2}{2}+\frac{kx_{1}^2}{2}+mgh_1=\frac{mv^2}{2}+\frac{kx_2^2}{2}+mgh_2[/tex3]

Sabendo pela fig 4 que a mola está em seu estado normal ([tex3]x_2=0[/tex3]), que tomando altura de inicial do bloco como "altura 0" ([tex3]h_1 = 0\rightarrow h_2={\color{Red}\cancel{\color{Black}h_1}^0}+x_d\rightarrow \boxed{h_2=x_d}[/tex3]), que o objeto fica parado no mesmo momento ([tex3]v=0[/tex3]), e multiplicando os dois lados por [tex3]2[/tex3] temos:

[tex3]E_i=E_f\\\frac{m{v'}^2}{2}+\frac{k{\color{Red}x_d}^2}{2}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}mgh_1}}={\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac{mv^2}{2}}}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac{kx_2^2}{2}}}+mg{\color{Red}x_d}\\\boxed{{m{v'}^2}+k{x_d}^2=2mgx_d}[/tex3]

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Substituindo [tex3]x_d[/tex3]...

[tex3]E_i=E_f\\{m{v'}^2}+k{\color{SeaGreen}x_d}^2=2mg{\color{SeaGreen}x_d}\\{m{v'}^2}+k\left({\color{SeaGreen}\frac{mg}{k}}\right)^2=2mg\cdot{\color{SeaGreen}\frac{mg}{k}}\\{\color{Red}\cancel{\color{Black}m}}{v'}^2+\frac{m^{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}g^2}{k}=\frac{2m^{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}g^2}{k}\\\boxed{{v'}^2+\frac{mg^2}{k}=\frac{2mg^2}{k}}[/tex3]

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Finalmente, isolando [tex3]v'[/tex3]

[tex3]E_i=E_f\\{v'}^2+\frac{mg^2}{k}=\frac{2mg^2}{k}\\{v'}^2=\frac{mg^2}{k}\\\color{MidNightBlue}\boxed{v'=g\sqrt{\frac{m}{k}}}[/tex3]

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Apenas por isso, é possivel chegarmos à Alternativa E, mas para concluir: Note que a amplitude se trata justamente de [tex3]x_d[/tex3], mas não há alternativas, então faremos uma mudança, vamos encontrar o valor de [tex3]\omega[/tex3].

[tex3]{v'}=\omega\cdot r\,\,\,\,\, \color{Purple}\mbox{nesse caso, }x_d=r=\mbox{Amplitude}\\{\color{SeaGreen}v'}=\omega\cdot {\color{BrickRed}x_d}\\{\color{SeaGreen} {\color{Red}\cancel{\color{SeaGreen}g}}\sqrt{\frac{m}{k}}}=\omega\cdot{\color{BrickRed}\frac{m{\color{Red}\cancel{\color{BrickRed}g}}}{k}}\\\color{MidNightBlue}\boxed{\omega=\sqrt\frac{k}{m}\rightarrow\omega^2=\frac{k}{m}}[/tex3]

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Substituindo esse valor lá em [tex3]x_d[/tex3] (que nesse caso é igual a Amplitude como já mensionado antes)

[tex3]x_d=g\cdot{\color{SeaGreen}\frac{m}{k}}\\x_d=g\cdot{\color{SeaGreen}\frac{1}{\omega^2}}\\\color{midNightBlue}\boxed{x_d=\frac{g}{\omega^2}}\,\,\,\,\mbox{Alternativa E}[/tex3]