Estude! Com Prof. Caju

Alguém me ajuda nesta questão porfavor, não sei complexos, só trigonometria! A folha esta na parte se protasférese.

(IME 84) Obtenha uma relação entre [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3], eliminando [tex3]x[/tex3] entre as duas equações abaixo:

[tex3]a \cdot \sen x - b \cdot \cos x = \frac{1}{2}\cdot c\cdot \sen 2x[/tex3]
[tex3]a \cdot \cos x + b \cdot \sen x = c \cdot \cos 2x[/tex3]

Introdução (Desnecessária)

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Primeiramente, eu fiquei num tempo de folga e obrigado pela pergunta! Eu fiquei cerca de 2h30 pra conseguir resolver! Foi realmente excitante. A ideia que eu usei pra resolver chega a ser simples no final das contas.




Questão e Observações

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[tex3]\mbox{I.}\,\,\,\,\,\,a \cdot \sen(x) - b \cdot\cos(x) = \frac{1}{2}\cdot c\cdot {\color{PineGreen}\sen(2x)}\\
\mbox{II.}\,\,\,\,a\cdot\cos(x) + b\cdot\sen(x) = c \cdot\cos(2x)[/tex3]

[tex3]\mbox{I.}\,\,\,\,\,\,a \cdot \sen(x) - b \cdot\cos(x) = \frac{1}{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\cdot c\cdot {\color{PineGreen}{\color{Red}\cancel{\color{PineGreen}2}}\cdot\sen(x)\cos(x)}\\
\mbox{II.}\,\,\,\,a\cdot\cos(x) + b\cdot\sen(x) = c \cdot\cos(2x)[/tex3]

[tex3]\mbox{I.}\,\,\,\,\,\,a \cdot \sen(x) - b \cdot\cos(x) = c\cdot\sen(x)\cos(x)\\
\mbox{II.}\,\,\,\,a\cdot\cos(x) + b\cdot\sen(x) = c \cdot\cos(2x)[/tex3]

Observações: Para Prostaferese, é necessário que seja Senos ou Cossenos; num exercício como esse, é provável que o início seja com alguma multiplicação para usarmos Werner. Note que, para tirarmos um função trigonométrica, ou zeramos esse termo, ou usamos a igualdade pitagórica. Nesses exercício, usei os dois.




Parte 1

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Vamos tomar [tex3]\mbox{I}\cdot \sen(x)+\mbox{II}\cdot \cos(x)[/tex3]

[tex3]\mbox{I}\cdot\sen(x)\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{YellowOrange}a \cdot \sen^2(x) - b \cdot\sen(x)\cos(x) = c\cdot\sen^2(x)\cos(x)}\\
\mbox{II}\cdot\cos(x)\,\,\,\,\,\,{\color{RoyalBlue}a\cdot\cos^2(x) + b\cdot\sen(x)\cos(x) = c \cdot\cos(2x)\cos(x)}\\
[/tex3]
[tex3]\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,a \big( {\color{Red}\cancel{{\color{YellowOrange}\sen^2(x)}{\color{RoyalBlue}\,\,+\,\cos^2(x)}}^1}\big) +\big({\color{Red}\cancel{{\color{RoyalBlue}b}\,\,{\color{YellowOrange}-\,\,b}}^0}\big)\sen(x)\cos(x) = c\cdot\cos(x)\big[{\color{RoyalBlue}\sen^2(x)}{\color{YellowOrange}\,\,+\,\cos(2x)}\big]\\

\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,a = c\cdot\cos(x)\big[{\color{SeaGreen}\sen^2(x)}+{\color{Purple}\cos(2x)}\big]\\

\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,a = c\cdot\cos(x)\big[{\color{SeaGreen}{\color{Red}\cancel{\color{SeaGreen}1}}-\cos^2(x)}+{\color{Purple}2\cos^2(x){\color{Red}\cancel{\color{Purple}-1}}}\big]\\

\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,a = c\cdot\cos(x)\cdot\cos^2(x)[/tex3]

[tex3]\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\cos(x)=\frac{a^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}}[/tex3]



Parte 2

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Agora tomemos [tex3]\mbox{II}\cdot \sen(x)-\mbox{I}\cdot \cos(x)[/tex3]

[tex3]\mbox{I}\cdot\cos(x)\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{YellowOrange}-\,a \cdot\sen(x)\cos(x) + b \cdot \cos^2(x) = -\,c\cdot\sen(x)\cos^2(x)}\\
\mbox{II}\cdot\sen(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{RoyalBlue}a\cdot\sen(x)\cos(x)+b\cdot\sen^2(x) = c \cdot\cos(2x)\sen(x)}\\
[/tex3]
[tex3]\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,\big({\color{Red}\cancel{{\color{RoyalBlue}a}\,\,{\color{YellowOrange}-\,\,a}}^0}\big)\sen(x)\cos(x)+b \big( {\color{Red}\cancel{{\color{RoyalBlue}\sen^2(x)}{\color{YellowOrange}\,\,+\,\cos^2(x)}}^1}\big) = c\cdot\sen(x)\big[{\color{RoyalBlue}\cos(2x)}{\color{YellowOrange}\,\,-\,\cos^2(x)}\big]\\

\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,b = c\cdot\sen(x)\big[{\color{SeaGreen}\cos(2x)}-{\color{Purple}\cos^2(x)}\big]\\

\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,b = c\cdot\sen(x)\big[{\color{SeaGreen}{\color{Red}\cancel{\color{SeaGreen}1}}-2\sen^2(x)}+{\color{Purple}\sen^2(x){\color{Red}\cancel{\color{Purple}-1}}}\big]\\

\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,b = c\cdot\sen(x)\cdot(-1)\cdot\sen^2(x)[/tex3]

[tex3]\mbox{S}\,\,\,\,\,\,\,\,\boxed{\sen(x)=\frac{-b^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}}[/tex3]



Parte 3

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Para Finalizarmos, vamos substituir tudo na [tex3]\mbox{I}\cdot(-1)[/tex3], julgo nessa ser mais fácil

[tex3]\mbox{I}\cdot(-1)\,\,\,\,\,\,-a \cdot {\color{SeaGreen}\sen(x)} + b \cdot{\color{Purple}\cos(x)} = -\,c\cdot{\color{SeaGreen}\sen(x)}{\color{Purple}\cos(x)}[/tex3]

[tex3]\mbox{I}\cdot(-1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-a \cdot {\color{SeaGreen}\frac{-b^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}} + b \cdot{\color{Purple}\frac{a^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}} = -\,c\cdot{\color{SeaGreen}-\frac{b^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}}{\color{Purple}\frac{a^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}}[/tex3]

[tex3]\mbox{I}\cdot(-1)\,\,\,\,\,\,\frac{a^{\frac{3}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}+\frac{a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{3}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}}=\frac{a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot c^{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac{3}{3}}\frac{1}{3}}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}c^{\frac{2}{3}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mbox{Multiplicando por}\,\,\frac{c^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}}
[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}}[/tex3]



Comentário (Inúteis)

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Então, eu estou sempre testando algumas formatações, e eu n sei dizer ao certo se ficou com muita cor ou poluição visual. Se alguém quiser falar onde posso mudar, considerarei em futuras resposta. E novamente, valeu por esse questão, AMEI!

Bela resposta, LostWalker, a álgebra tem desses truques mesmo.

Uma outra solução é de fato usar complexos.

A ideia clássica pra [tex3]a \sen x + b\cos x[/tex3] no campo complexo, seria naturalmente fazer [tex3]z = a + bi[/tex3].

Note que se torna natural chamar [tex3]w = \cis x[/tex3], já que há [tex3]a \sen x+ b\cos x[/tex3] e [tex3]a \sen x- b\cos x[/tex3]

Se você fizer [tex3]zw = a\cos x- b\sen x + (a\sen x + b\cos x)i[/tex3]. Não é bem o que temos na questão, né. Então que tal fazer

[tex3]z \overline w = a\cos x + b\sen x +i(b\cos x - a\sen x) [/tex3]

Mas, também sabemos que [tex3]z \overline w = r\cis \varphi \cis( -x) = r\cis (\varphi - x) = a\cos x + b\sen x +i(b\cos x - a\sen x) [/tex3]

[tex3]r\cos(\varphi - x)+ r\sen(\varphi - x)i = a\cos x + b\sen x +i(b\cos x - a\sen x)[/tex3]

Substituindo o que foi dado no enunciado,

[tex3]r\cos(\varphi - x)+ r\sen(\varphi - x)i = c \cos 2x +i(-c\cdot \sen 2x\cdot \frac{1}{2}) [/tex3]

[tex3]r\cos(\varphi - x) = c\cos 2x[/tex3] e [tex3]r\sen(\varphi - x) = -c\cdot \sen 2x\cdot \frac{1}{2} [/tex3]

[tex3]\frac{\sen(\varphi - x)}{\cos(\varphi -x)} = \frac{-\sen 2x}{2 \cos 2x}[/tex3]

[tex3]2\tg(\varphi - x) = - \tg2x[/tex3]

[tex3]2\frac{\tg \varphi - \tg x}{1+ \tg \varphi \tg x} = \frac{-2\tg x}{1 - \tg^2 x}[/tex3]

Chamando [tex3]k = \tg \varphi [/tex3] e [tex3]t = \tg x[/tex3]

[tex3]2\frac{k-t}{1+ kt} = \frac{-2t}{1-t^2}[/tex3]

[tex3](1 - t^2)(k-t) = -t(1+kt)[/tex3]

[tex3]k-t-t^2k-t^3 = -t-kt^2[/tex3]

[tex3]t^3 = - k[/tex3]

[tex3]t = -\sqrt[3]{k}[/tex3], [tex3]\frac{\sen x}{\cos x } = -\sqrt[3]{k} \iff \sen x = -\sqrt[3]{k}\cos x [/tex3].

[tex3]k = \tg \varphi[/tex3] e [tex3]\varphi = \arg (a+bi) = \arctan \frac{b}{a}[/tex3]. Depois disso é só substituir [tex3]\sen x [/tex3] no sistema e achar [tex3]\cos x[/tex3] em função de a, b e c. E daí substituir ambos na outra equação do sistema.

Ficou ótima a resposta LostWalker!!! Eu que agradeço por ter me ajudadooooo!

Parabéns LostWalker pela solução! Ficou bem elegante mesmo!
Eu só queria complementar com algo que acredito que tenha faltado.
Você assume logo no começo que [tex3]c\neq0[/tex3], pois passou ele dividindo.

Formalmente também seria necessário assumir o caso em que [tex3]c=0[/tex3], pois o enunciado não nos garante que [tex3]c\neq0[/tex3].
Se [tex3]c=0[/tex3], as tuas equações facilmente nos garantem que [tex3]a=b=0[/tex3] também.
Mas a opção [tex3]a=b=c=0[/tex3] verifica o gabarito [tex3]a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}[/tex3]. Então felizmente não haveria a necessidade de explicitar esse caso na resposta, pois ele já seria englobado por esse gabarito.

Mas no meio disso há outro problema: na última passagem você assume que [tex3]a\neq 0[/tex3] e [tex3]b\neq 0[/tex3], coisa que o enunciado também não garante. Caso [tex3]a=0[/tex3] ou [tex3]b=0[/tex3], a última etapa da sua dedução ficaria atravancada.
Note que se [tex3]a=b=0[/tex3], podemos ver no sistema original que se teria [tex3]c=0[/tex3].
Mas à princípio poderíamos ter [tex3]a=0[/tex3], [tex3]b\neq0[/tex3] e [tex3]c\neq0[/tex3], que deveria ser considerado também. Ou também [tex3]a\neq0[/tex3], [tex3]b=0[/tex3] e [tex3]c\neq0[/tex3]. Deixo a análise destes casos restantes para vocês.

Enfim, esse comentário está ficando mais longo do que eu planejei haha. O IME poderia ter "facilidado" a vida se tivessem afirmado que os parâmetros não são nulos.
De qualquer forma, me parece que todos esses casos à parte poderão ser englobados na resposta [tex3]a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}[/tex3]. Mesmo assim, à título de rigor, é preciso considerá-los.

Abraço e parabéns novamente pela solução.