Pré-Vestibular ⇒ (FEPECS - 2009) Geometria espacial Tópico resolvido

[matbatrobin]

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Uma ampulheta é formada por dois cone idênticos. Inicialmente, o cone superior está cheio de uma solução de glicose e o cone inferior está vazio (Fig.1). A solução flui do cone superior para o cone inferior com vazão constante. O cone superior se esvazia com exatamente 1 hora e 40 minutos. Então, o tempo necessári até que a altura da solução no cone inferior seja igual à quarta parte da altura da solução do cone superior (Fig. 2) é:
(A)48min 48s
(B)49min 12 s
(C)49min 36s
(D)50min
(E)50min 24s

[adrianotavares]

Olá, matbatrobin.

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[tex3]h[/tex3]---> altura da solução do cone superior
[tex3]v[/tex3]---> volume da solução que resta no cone superior
[tex3]V[/tex3]---> volume do cone

Se a altura da solução do cone inferior é igual a [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] da altura da solução do cone superior então, a altura total do cone será:

[tex3]h+ \frac{1}{4}h= \frac{5h}{4}[/tex3]

Utilizando-se a razão de volume entre sólidos semelhantes teremos:

[tex3]\frac{v}{V}= k^3 \Rightarrow \frac{v}{V}= (\frac{h}{\frac{5h}{4}})^3 \Rightarrow \frac{v}{V}= \frac{64}{125} \Rightarrow v= \frac{64}{125}V[/tex3]

O volume do cone inferior será:

[tex3]v_i= V- \frac{64}{125}V \Rightarrow v_i= \frac{61}{125}V[/tex3]

Para descobrirmos o tempo vamos montar uma regra de três simples:

tempo -------------- volume

[tex3]100min[/tex3]----------[tex3]V[/tex3]

[tex3]x[/tex3]-----------[tex3]\frac{61}{125}V[/tex3]

[tex3]x= \frac{61.100}{125} \Rightarrow x= 48,8 min \Rightarrow x= 48min[/tex3] e [tex3]48 seg[/tex3]

Alternativa: A