Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Cearense - 1986) Fração irredutível Tópico resolvido

[matbatrobin]

Se [tex3]a[/tex3] é um número inteiro positivo qualquer, mostre que a fração [tex3]\frac{a^3+2a}{a^4+3a^2+1}[/tex3] é irredutível.

[triplebig]

Primeiramente mostrarei uma fatoração:

[tex3]\frac{a^3+2a}{(a^4+3a^2+2)-1}=\frac{a(a^2+2)}{(a^2+1)\cdot(a^2+2)-1}[/tex3]

Disso podemos já concluir. Para a fração ser redutível ela deve ter algum fator comum no numerador e no denominador. No numerador temos [tex3]a(a^2+2)[/tex3] , então no denominador não podemos ter múltiplos dessas expressões.
Isso é verdade pois temos um múltiplo de [tex3](a^2+2)[/tex3] decrescido de [tex3]1[/tex3] e nenhum termo com [tex3]a[/tex3] pode ser fatorado.

Acho que é isso, não deu para ser muito formal mas está mostrado, abraços.

[Auto Excluído (ID:19677)]

Obrigada pela resposta triplebig, mas aceitariam essa explicação numa prova dissertativa? Se puderem tragam uma explicação mais formal.

[Ittalo25MOD]

Pelo lema de Euclides:

[tex3]mdc(a^3+2a, a^4+3a^2+1) = mdc(a^3+2a, a^4+3a^2+1-a\cdot(a^3+2a)) = mdc(a^3+2a,a^2+1) [/tex3]

[tex3]mdc(a^3+2a,a^2+1) =mdc(a^3+2a-a\cdot (a^2+1), a^2+1) = mdc(a, a^2+1) = mdc(a, a^2+1-a\cdot (a)) = mdc(a, 1) = \boxed{1}[/tex3]