IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1981) Geometria Plana Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Num círculo de [tex3]2\text{ cm}[/tex3] de raio traçam-se dois diâmetros perpendiculares, [tex3]\overline{AA'}[/tex3] e [tex3]\overline{BB'}[/tex3]. Sobre o arco [tex3]AB[/tex3] marca-se o ponto [tex3]P[/tex3] de modo que [tex3]\overline{PB}=\overline{PQ}[/tex3], sendo [tex3]\overline{PQ}[/tex3], perpendicular a [tex3]\overline{AA'}[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] situado em [tex3]\overline{AA'}[/tex3]. [tex3]\overline{PB}[/tex3] vale, em [tex3]cm[/tex3]:

(A) [tex3]\sqrt{3}[/tex3].
(B) [tex3]2\sqrt{3}-2[/tex3].
(C) [tex3]\sqrt{3}+1[/tex3].
(D) [tex3]1[/tex3].
(E) [tex3]2\sqrt{3}[/tex3].

Resposta

---

(B)

[matbatrobin]

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Na figura temos [tex3]PQ=PB=x[/tex3]

Fazendo pitágoras no triângulo [tex3]PBR[/tex3]:

[tex3]x^2=(2-x)^2+y^2 \\ x^2=x^2-4x+4+y^2 \\ y^2=4x-4[/tex3]

Fazendo pitágoras no triângulo [tex3]PBC[/tex3]:

[tex3]2^2=x^2+y^2 \\ 4=x^2+4x-4 \\ x^2+4x-8=0\,\Leftrightarrow \,x'=-2-2\sqrt{3}(absurdo)\,ou \,\boxed{x''=-2+2\sqrt{3}}[/tex3]

Resposta: Letra (B)

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

Circunferência 6.GIF (2.74 KiB) Exibido 1347 vezes

[tex3]PQ= PB= x[/tex3]
[tex3]BN= (2-x)[/tex3]

Aplicando as relações métricas no triângulo retângulo [tex3]PBB'[/tex3] teremos:

[tex3](PB)^2= BB'\cdot BN[/tex3]

[tex3]x^2= 4(2-x)[/tex3]

[tex3]x^2 +4x-8= 0[/tex3]

Resolvendo essa equação do 2º grau encontaremos:

[tex3]x= 2 \sqrt{3}-2[/tex3]

Alternativa: B