Ensino Médio ⇒ Área mínima Tópico resolvido

[BartdGusmão]

Um fio de comprimento 1 metro deve ser cortado de modo que uma parte constitua uma circunferência e outra um quadrado. Sabendo que a medida em que o fio deve ser cortado para que a soma das áreas das figuras formadas com ele seja mínima pode ser escrita na forma de fração
irredutível [tex3]\frac{p}{q}[/tex3], assinale a alternativa que traga o valor de 𝑞 − 𝑝
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

[LostWalker]

Dividindo a Corda e Medindo a Área

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Vamos começar estipulando que [tex3]x[/tex3] é a quantidade de corda destinada ao círculo, logo, [tex3]1-x[/tex3] é destinada ao quadrado. Para a área, precisamos de uma relação para o raio (no caso do círculo) e para o lado (no caso do quadrado), usaremos comprimento dos perímetros, logo, podemos dizer que:

[tex3]\cases{~~~~~~~x=2\pi r\\1-x=4l}[/tex3]

[tex3]\cases{r=\frac x{2\pi}\\l=\frac{1-x}4}[/tex3]


Agora, basta usarmos as equações de área de cada e somarmos:

[tex3]A=A_\circ+A_\square[/tex3]

[tex3]A=\pi{\color{PineGreen}r}^2+{\color{Purple}l}^2[/tex3]

[tex3]A=\pi{\color{PineGreen}\(\frac x{2\pi}\)}^2+{\color{Purple}\(\frac{1-x}4\)}^2[/tex3]

[tex3]A=\frac{x^2{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi}}}{4\pi^{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}}+\frac{1-2x+x^2}{16}[/tex3]

[tex3]A=\frac{x^2}{4\pi}\cdot{\color{NavyBlue}\frac44}+\frac{1-2x+x^2}{16}\cdot{\color{NavyBlue}\frac\pi\pi}[/tex3]

[tex3]A=\frac{4x^2+\pi-2x\pi+x^2\pi}{16\pi}[/tex3]


[tex3]\boxed{A=\frac{(4+\pi)x^2-2x\pi+\pi}{16\pi}}[/tex3]




A Área Mínima

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Temos a variável apenas na parte da cima, então, vamos considerar que o denominador é uma constante, então vamos ignorá-lo por hora. vamos nos focar encontrar o menor da seguinte função:

[tex3]f(x)=(4+\pi)x^2-2x\pi+\pi[/tex3]


Considerando que a função é positiva, o seu vértice demarca o valor mínimo da função. Logo, vamos calcular o vértice:

[tex3]y_v=\frac{-\Delta}{4a}[/tex3]

[tex3]y_v=\frac{-\((-2\pi)^2-4(4+\pi)\pi\)}{4\cdot(4+\pi)}[/tex3]

[tex3]y_v=\frac{-\({\color{Red}\cancel{\color{Black}4}}\pi^2-{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}}\pi(4+\pi)\)}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}}\cdot(4+\pi)}[/tex3]

[tex3]y_v=\frac{-\({\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi^2}}-4\pi-{\color{Red}\cancel{\color{Black}\pi^2}}\)}{4+\pi}[/tex3]

[tex3]\boxed{y_v=\frac{4\pi}{4+\pi}}[/tex3]


Voltando esse valor para a função, o que temos é:

[tex3]A=\frac{f(x)}{16\pi}[/tex3]

[tex3]A=\frac1{16\pi}\cdot\frac{4\pi}{4+\pi}[/tex3]

[tex3]\boxed{A=\frac1{4+\pi}}[/tex3]




Sugestão

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Bem, já é visível que denominador será sempre irracional. Talvez, haja um erro no enunciado. Na minha opinião, o que poderia corroborar seriar dizer que o cálculo final fosse:

[tex3]q-p\pi[/tex3]


Isso possibilitaria:

[tex3]4+\pi-\pi\\\boxed{S=4}[/tex3]


Mas claro, eu estou forçando já. Bem, deixo essa resolução a disposição.