Ensino Médio ⇒ Fatoração por Diferença de Quadrados Tópico resolvido

[gabibibi]

Olá novamente de novo!
Preciso de ajuda com um exercício sobre fatoração no qual o enunciado indica que deve ser usado a diferenças entre quadrados:

[tex3](2a + b)^{2} - (3b - a)^{2}[/tex3]

Obrigada

[LostWalker]

Resolvendo modo Gênio

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[tex3]{\color{SeaGreen}(2a+b)^2}-{\color{Purple}(3b-a)^2}\\{\color{SeaGreen}(4a^2+4ab+b^2)} - {\color{Purple}(9b^2-6ab+a^2)}\\3a^2+10ab-8b^2\\3a^2-2ab+12ab-8b^2\\a(3a-2b)+4b(3a-2b)[/tex3]

[tex3](a+4b)(3a-2b)[/tex3]

É, eu não entendi onde iria ser usado a diferença de quadrados.



Resolvendo de maneira normal (Báskara)

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Olha, o problema aí é enxergar como a gente fatora ali a última parte [tex3]\boxed{3a^2+10ab-8b^2}[/tex3], e real que nem eu (que estou escrevendo a resposta) respondi daquela forma, afinal, não sou nenhum gênio. Mas vamos lá, para terminar essa fatoração, vamos usar Báskara. No caso, eu vou tomar [tex3]a[/tex3] como variável.

Veja a semelhança (eu vou usar [tex3]\boxed{m, n,o}[/tex3] pra não ficar confuso)

[tex3]\boxed{{\color{Red}m}{\color{YellowOrange}x^2}+{\color{Blue}n}{\color{YellowOrange}x}+{\color{Green}o}\\{\color{Red}3}{\color{YellowOrange}a^2}+{\color{Blue}10b}{\color{YellowOrange}a}+{\color{Green}(-8b^2)}}[/tex3]


E vamos aplicar Báskara, tomando que a equação seja igual a zero.

[tex3]{\color{YellowOrange}x}=\frac{-{\color{Blue}n}\pm\sqrt{{\color{Blue}n}^2-4{\color{Red}m}{\color{Green}o}}}{2{\color{Red}m}}[/tex3]

[tex3]{\color{YellowOrange}a}=\frac{-{\color{Blue}10b}\pm\sqrt{{\color{Blue}(10b)}^2-4\cdot{\color{Red}3}\cdot{\color{Green}(-8b^2)}}}{2\cdot{\color{Red}3}}[/tex3]


Pulando um pouco ao que interessa:

[tex3]a=\frac{-10b\pm14b}{6}[/tex3]



Formando a Fatoração

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Temos então, separando [tex3]\pm[/tex3]:

[tex3]6a=-24b\,\,\,\therefore\,\,\,6a+24b=0\,\,\,\therefore\,\,\,\boxed{a+4b=0}\\6a=4b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\therefore\,\,\,\,\,\,6a-4b=0\,\,\,\therefore\,\,\,\boxed{3a-2b=0}[/tex3]


Logo, podemos terminar multiplicando.

[tex3](a+4b)(3a-2b)=0[/tex3]


Depois, podemos ignorar esse [tex3]0[/tex3], e a fatoração está feita. Talvez isso de jogar Báskara, pegar os valores e multiplicar pareça entranho, mas é muito comum quando vc estudar retas em Geometria Analítica (exceto a parte de ignorar o [tex3]0[/tex3]) e ele te da uma mega função perguntando se a equação é de retas não perpendiculares por exemplo, enfim, a resposta é:

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{(a+4b)(3a-2b)}[/tex3]



Observação

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No final, é sempre bom que você verifique a conta, afinal, tem uma simplificação marota aí, tipo [tex3]\boxed{6a-4b\,\,\,\rightarrow\,\,\,3a-2b}[/tex3]; Quando se trata de equações de retas (Quando você usa em Geometria Analítica), já que não ignoramos o [tex3]0[/tex3], a conta segue perfeita, mas já que estamos em fatoração, é necessário testar as variantes, sabe, no final, é fácil distinguir, já que o número saltaria pra fora (ver exemplo a baixo hipotético)

[tex3]6a-4b=2(3a-2b)[/tex3]

No final, a conta ficaria

[tex3]3(a+4b)(3a-2b)[/tex3]

Então né, o valor multiplica todos os valores, mas né, é uma atenção necessária.

[petrasMOD]

LostWalker,
"eu não entendi onde iria ser usado a diferença de quadrados."
A diferença de quadrados é utilizada na expressão principal..
(2a+b-(3b-a))(2a+b+3b-a) =
(3a-2b).(a+4b)

[LostWalker]

petras, CARACA, estou impressionado