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Calcule todos os valores reais de [tex3]a[/tex3] para os quais valem, simultânealmente, as igualdades:

[tex3]senx=a+\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]cosx=a-\frac{1}{2},[/tex3] sendo [tex3]x[/tex3] um número real.

Isole o [tex3]a[/tex3] , que é constante, assim não tem erro.

[tex3]1)\;a=\sen x-\frac{1}{2}\\
2)\;a=\cos x+\frac{1}{2}\\
\\
1)=2)\Right\;\therefore\;\cos x-\sen x=-1\\
\\
\Leftrightarrow\;(\cos x-\sen x)^2=1\\
\\
\Leftrightarrow\;\sen x\cdot\cos x=0\\
\\
\Leftrightarrow\; \begin{cases}\sen x=0\\ \\ \text{ ou }\\ \\ \cos x =0 \end{cases}[/tex3]

Assim, [tex3]a=-\frac{1}{2}[/tex3] ou [tex3]a=\frac{1}{2}[/tex3]

Mas continuo com a pergunta: porque não fazem parte da resposta TODOS os valores do intervalo [tex3][-0,5\, 0,5][/tex3] ao invés de só [tex3]{-}0,5[/tex3] e [tex3]0,5?[/tex3]

Porque fariam?

E por que não fariam?, zoeira...

quando eu peguei para resolver pensei da seguinte forma:

[tex3]senx=a+\frac{1}{2}[/tex3] e sendo [tex3]a+\frac{1}{2}[/tex3] o seno de um ângulo temos:

[tex3]-1 \leq senx \leq 1[/tex3] logo [tex3]{-}1 \leq a+\frac{1}{2} \leq 1 \Rightarrow -\frac{3}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}[/tex3] (I)

Como o mesmo vale para o cosseno temos:

[tex3]{-}1 \leq a-\frac{1}{2} \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{3}{2}[/tex3] (II)

Devendo obedecer a ambas as condições fiz [tex3](I) \cap (II)[/tex3] e daí veio [tex3]\left[-\frac{1}{2},\, \frac{1}{2}\right][/tex3]

Esses são os valores de [tex3]a[/tex3] que satisfazem as condições de existência de tanto o seno quanto o cosseno do problema. Ou seja, se [tex3]{-}\frac{1}{2}\leq a\leq \frac{1}{2}[/tex3] a existência de [tex3]\text{sen}x\text{ e }\cos x[/tex3] é garantida.
Agora o problema quer saber quando a igualdade ocorre, ou seja, para que valores neste intervalo o seno é igual ao cosseno.

d(o_o)b ?

hum, acho que agora foi.

se ao invés do sinal de igualdade nos sen e cos fossem sinais de desigualdade o intervalo que eu falei valeria?

Sim, mas aí seria exclusivamente:

[tex3]\left]\,-\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\right[[/tex3]