Ensino Médio ⇒ Semelhança e paralelismo Tópico resolvido

[matbatrobin]

No [tex3]\triangle ABC[/tex3], a bissetriz de [tex3]\hat{A}[/tex3] intersecta [tex3]\overline{BC}[/tex3] em [tex3]D[/tex3]. A perpendicular à [tex3]\overline{AD}[/tex3] de [tex3]B[/tex3] intersecta [tex3]\overline{AD}[/tex3] em [tex3]E[/tex3] e a paralela a [tex3]\overline{AC}[/tex3] intersecta [tex3]\overline{BC}[/tex3] em [tex3]G[/tex3], e [tex3]\overline{AB}[/tex3] em [tex3]H[/tex3].

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Se [tex3]AB=26[/tex3], [tex3]BC=28[/tex3] e [tex3]AC=30[/tex3], ache a medida de [tex3]\overline{DG}[/tex3].

[adrianotavares]

Olá, matbatrobin.

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[tex3]\frac{26}{x}= \frac{30}{28-x}\Rightarrow 26x+30x= 728 \Rightarrow x= 13[/tex3]

Cálculo do cosseno do ângulo [tex3]C[/tex3] aplicando o Teorema dos cossenos no [tex3]\Delta ABC[/tex3]:

[tex3](26)^2= (30)^2+(28)^2-2.30.28cosC[/tex3]

[tex3]676= 900+784-1680cosC[/tex3]

[tex3]1680cosC= 1008 \Rightarrow cosC= 0,6[/tex3]

Cálculo da área do [tex3]\Delta ABC[/tex3]:

[tex3]A= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3], onde [tex3]p[/tex3] é o semiperímetro.

[tex3]A= \sqrt{42.12.14.16}\Rightarrow A= 336[/tex3]

Cálculo da altura [tex3]h[/tex3]:

[tex3]336= \frac{28.h}{2} \Rightarrow h= 24[/tex3]

Cálculo da área do [tex3]\Delta ABD[/tex3]:

[adrianotavares]

Olá, matbatrobin.

Continuação do exercício.

[tex3]A_1= \frac{13.24}{2} \Rightarrow A_1= 156[/tex3]

Cálculo do segmento [tex3]AD[/tex3] aplicando o Teorema dos cossenos no [tex3]\Delta ADC[/tex3]:

[tex3](AD)^2= (30)^2+(15)^2-2.15.30cosC[/tex3]

[tex3](AD)^2= 900+225-900.0,6[/tex3]

[tex3](AD)^2= 1125-540[/tex3]

[tex3](AD)^2= 585 \Rightarrow AD= 3 \sqrt{65}[/tex3]

Cálculo da altura [tex3]h_1[/tex3]:

[tex3]156= \frac{3 \sqrt{65}}{2} \Rightarrow h_1= \frac{104\sqrt{65}}{65} \Rightarrow h_1= \frac{8 \sqrt{65}}{5}[/tex3]

Cálculo de [tex3]ED[/tex3] aplicando Pitágoras no [tex3]\Delta BED[/tex3]:

[tex3](ED)^2 =169-\frac{64.65}{25} \Rightarrow (ED)^2 = \frac{4225-4160}{25}\Rightarrow ED= \frac{\sqrt{65}}{5}[/tex3]

Sendo os triângulos [tex3]EDG[/tex3] e [tex3]ADC[/tex3] semelhantes temos:

[tex3]\frac{ED}{DC}= \frac{AD}{DC} \Rightarrow \frac{\sqrt{65}}5DC= \frac{3\sqrt{65}}{15}\Rightarrow DC= \frac{15}{5.3} \Rightarrow DC= 1[/tex3]

[matbatrobin]

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Como [tex3]\overline{AD}[/tex3] é bissetriz temos que [tex3]\hat{1}=\hat{5}[/tex3]
Como [tex3]\overline{HG} //\overline{AC}[/tex3] temos que [tex3]\hat{1}=\hat{2}[/tex3], logo [tex3]\hat{2}=\hat{5}\Rightarrow AH=HE[/tex3].

[tex3]\triangle AEB \begin{cases} 90^{\circ}-\hat{5}=\hat{4} \\ 90^{\circ}-\hat{2}=\hat{3} \\ \hat{2}=\hat{5}\end{cases} \,\Longrightarrow \hat{3}=\hat{4}\Rightarrow BH=HE\Rightarrow BH=AH[/tex3]

Então se [tex3]H[/tex3] é o ponto médio de [tex3]\overline{AB}[/tex3] e [tex3]\overline{HG} //\overline{AC}[/tex3], então [tex3]G[/tex3] é o ponto médio de [tex3]\overline{BC}[/tex3], logo [tex3]BG=\frac{BC}{2}=14[/tex3].

Pelo teorema da bissetriz interna:

[tex3]\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC} \\ \frac{BD}{26}=\frac{28-BD}{30} \\ BD=13[/tex3]

[tex3]DG=BG-BD \\ DG=14-13 \\ \boxed{DG=1}[/tex3]