Olimpíadas ⇒ (OCM - 2000) Geometria Espacial Tópico resolvido

[triplebig]

Um aviador está a uma distância [tex3]h[/tex3] da Terra que vamos admitir como sendo uma esfera de raio [tex3]r[/tex3]. Se [tex3]S[/tex3] é a porção total da superfície da Terra visível pelo aviador, encontre [tex3]S[/tex3] em termos de [tex3]r[/tex3] e [tex3]h[/tex3].

[Beastie]

Créditos: matbatrobin

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Por Pitágoras, [tex3]l^2=(h+r)^2-r^2=h^2+2rh[/tex3](*).

Usando a fórmula [tex3]b^2=am[/tex3](prov. por semelhança de triângulos) e de (*), tem-se que:

[tex3]l^2=(r+h)\cdot\,(x+h)\Rightarrow\,x+h=\frac{h^2+2rh}{r+h}[/tex3] (**).

A área da calota é dada por [tex3]2\pi\,rH[/tex3], em que [tex3]H=x+h[/tex3].

Logo, de (**),

[tex3]S=\frac{2\pi\,rh(h+2r)}{r+h}[/tex3].