Física II ⇒ (FB) Quantidade de calor Tópico resolvido

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A energia radiante que a Terra recebe do Sol sob incidência normal, por unidade de tempo e de área é denominada constante solar e vale (Cs)=19,4 Kcal/min.m². O gelo tem densidade absoluta d=920 Kg/m³ e calor de fusão L=80Kcal/Kg. Suponha que a Terra seja revestida por uma camada uniforme de gelo de espessura x, a 0°C. Determine, em metros, essa espessura, sob condição de que o gelo seja fundido em 30 dias por efeito do calor radiante proveniente do Sol, que ele absorve integralmente, e com exclusão de qualquer outra troca de calor.
A) 1,4
B) 2,8
C) 5,6
D) 11,2
E) 22,4

Resposta

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B

Eu tentei várias vezes e cheguei, em todas elas, aproximadamente em 11,3. Até imagino qual seja meu erro, mas não sei como sair dele.
Minha tentativa:

Resposta

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[tex3]\left[\frac{4\pi (R+x)^3}{3}-\frac{4\pi R^3}{3}\right]d_{gelo}.L_{gelo}=19,4\cdot 60\cdot 24\cdot 30\cdot S[/tex3]
O meu erro provavelmente está em como considerar S. A altura do gelo varia, então a energia recebida varia por unidade de tempo. Eu pensei em considerar algo como a área média, que obtive fazendo a média aritmética da maior e da menor área. Além disso, sempre fiz aproximações: x² é desprezível comparado a R, e R é desprezível comparado a R², e assim sucessivamente.

Eu imagino que exista algum modo, por cálculo, para obter esse S.

[παθμ]

Seja [tex3]R[/tex3] o raio da Terra.

Os raios solares chegam na Terra praticamente paralelos entre si, e a intensidade da luz é [tex3]c_s.[/tex3] Considerando que a radiação é integralmente absorvida, a potência absorvida é então [tex3]P=\pi R^2 c_s,[/tex3] e o calor total recebido no intervalo de tempo especificado é [tex3]\Delta Q= \pi R^2 c_s \Delta t.[/tex3]

Como a espessura da camada de gelo é muito pequena comparada ao raio da Terra, seu volume é [tex3]V \approx 4\pi R^2 x.[/tex3]

[tex3]\Delta Q=mL=\rho VL=4\pi R^2 x \rho L.[/tex3]

[tex3]4\pi R^2 x \rho L=\pi R^2 c_s \Delta t \Longrightarrow x=\frac{c_s \Delta t}{4 \rho L}.[/tex3]

Dados: [tex3]c_s=19,4 \; \text{kcal/min m}^2, \; \; \Delta t=43200 \; \text{min}, \; \; \rho=920 \; \text{kg/m}^3, \; \; L=80 \; \text{kcal/kg}. [/tex3] Plugando os valores numéricos obtemos [tex3]\boxed{x \approx 2,8 \; \text{m}}[/tex3]

Alternativa B

Obs: o erro do Zhadnny era considerar que a potência era [tex3]P= 4\pi R^2 c_s.[/tex3] Isso seria se, em cada ponto da Terra, houvesse radiação incidindo perpendicularmente à superfície com uma intensidade [tex3]c_s,[/tex3] o que claramente não é o caso. O que está acontecendo aqui é uma esfera sendo iluminada por um feixe de raios paralelos (o diâmetro do feixe é maior do que o diâmetro da esfera) com intensidade [tex3]c_s.[/tex3]