Física II ⇒ (FB) Lentes Tópico resolvido

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A figura mostra uma lente com distância focal f e velocidade v para direita. Se a imagem final do ponto O possui velocidade kv, encontre k.

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Resposta

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3

[παθμ]

Seja [tex3]x[/tex3] a distância entre o ponto O e a lente. Consequentemente, a distância da lente ao espelho é [tex3]f-x.[/tex3]

Para achar a primeira imagem:

[tex3]\frac{1}{f}=\frac{1}{x}+\frac{1}{p'_1} \Longrightarrow p'_1=\frac{fx}{x-f}.[/tex3]

A distância dessa primeira imagem ao espelho é [tex3]f-x-p'_1,[/tex3] formando a segunda imagem a uma distância [tex3]f-x-p'_1[/tex3] atrás do espelho.

A terceira e última imagem é a imagem que a lente forma da segunda imagem. [tex3]p=p'_1+2(f-x-p'_1)=\frac{3xf-2f^2-2x^2}{x-f}.[/tex3]

[tex3]\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'} \Longrightarrow p'=\frac{f(3xf-2f^2-2x^2)}{2xf-f^2-2x^2}.[/tex3]

A distância ao espelho da imagem final é [tex3]D=p'+f-x=\frac{-3f^3+2x^3+6xf^2-6x^2f}{2xf-f^2-2x^2}.[/tex3]

Após um pouco de trabalho, calculamos a derivada temporal disso:

[tex3]\frac{dD}{dt}=-\frac{2x^2(2x^2-4xf+3f^2)\dot{x}}{(2x^2-2xf+f^2)^2}.[/tex3]

Sendo [tex3]\dot{x}=v[/tex3] e plugando [tex3]x=\frac{f}{2},[/tex3] obtemos:

[tex3]\frac{dD}{dt}=-3v.[/tex3]

Ou seja, o módulo da velocidade da imagem no instante desejado é [tex3]3v[/tex3] e temos [tex3]\boxed{k=3}[/tex3]