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Numa pirâmide quadrangular regular inscreve-se uma esfera que tangencia a base e as [tex3]4[/tex3] faces laterais. A base é um quadrado de lado [tex3]l[/tex3] e a altura vale [tex3]\frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3]. Determine o volume da esfera.

Olá adrianotavares,

Veja a figura:
As medidas são (de acordo com enunciado):

[tex3]AB=\ell\,\,\rightarrow \,\,\boxed{EG=\frac{\ell}{2}}[/tex3]

[tex3]EF=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}\,\,\xrightarrow{\text{pitÁgoras em FEG}}\boxed{FG=\ell}[/tex3]

[tex3]HK=HE=R\rightarrow \boxed{FH=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}-R}[/tex3]

Semelhança de triângulos entre os triângulos FEG e FKH:

[tex3]\frac{\frac{\ell}{2}}{\,\,R\,\,}=\frac{\ell}{\frac{\ell\sqrt{3}}{2}-R}\rightarrow \boxed{\boxed{R=\frac{\ell\sqrt{3}}{6}}}[/tex3]

Portanto, o volume será [tex3]V=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot R^3\rightarrow \boxed{\boxed{V=\frac{\pi\sqrt{3}\ell^3}{54}}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju