Pré-Vestibular ⇒ Função logarítmica/UFSCar-SP Tópico resolvido

[Harison]

Um forno elétrico estava em pleno funcionamento quando ocorreu uma falha de energia elétrica, que durou algumas horas. A partir do instante em que ocorreu a falha, a temperatura no interior do forno pôde ser expressa pela função:

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com [tex3]t[/tex3] em horas,[tex3]t\geq 0[/tex3],e a temperatura em graus Celsius.

A) Determine as temperaturas do forno no instante em que ocorreu a falha de energia elétrica e uma hora depois.

B) Quando a energia elétrica voltou, a temperatura no interior do forno era de 40 graus. Determine por quanto tempo houve falta de energia elétrica.

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Resposta

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A)São 401°C e 202°C,respectivamente
B)4,3 horas

[Harison]

@Harison ,

a)
[tex3]\text{T(t)}=2^{t}+400.2^{-t}[/tex3]

[tex3]\text{T(0)}=2^{0}+400.2^{-0}[/tex3]
[tex3]\text{T(0)}=1+400[/tex3]
[tex3]\text{T(0)}=401 \text{ °C}[/tex3]

[tex3]\text{T(1)}=2^{1}+400.2^{-1}[/tex3]
[tex3]\text{T(1)}=2+200[/tex3]
[tex3]\text{T(1)}=202\text{ °C}[/tex3]

b)
[tex3]40=2^{t}+400.2^{-t}[/tex3]
[tex3]40=2^{t}+\frac{400}{2^{t}}[/tex3]

Trocando [tex3]2^t=a[/tex3]
[tex3]40=a+\frac{400}{a}[/tex3]
[tex3]a^{2}-40.a+400=0[/tex3]

[tex3]a=\frac{-(-40)\pm\sqrt{(-40)^{2}-4.1.400} }{2.1}[/tex3]
[tex3]a=\frac{40\pm\sqrt{1600-1600} }{2}[/tex3]
[tex3]a=20[/tex3]

Destrocando:
[tex3]2^t=a[/tex3]
[tex3]2^t=20[/tex3]

Aplicando logaritmo de ambos os lados:
[tex3]\log_22^t=\log_220[/tex3]
[tex3]t=\log_2(4.5)[/tex3]
[tex3]t=\log_24+\log_25[/tex3]
[tex3]t=2+2,3[/tex3]
[tex3]{\color{red}\boxed{t=4,3 \text{ h}}}[/tex3]