Pré-Vestibular ⇒ (F.N.Filosofia-46) Geometria Analítica

[AngelitaB]

Um circulo tem um diâmetro cujo suporte passa pelo ponto (-2;-3).A equação da tangente em um dos estremos desse diâmetro é 3x + 4y - 57=0 e a tangente no outro extremo corta o eixo dos x no ponto de abscissa 2 [tex3]\frac{1}{3}[/tex3].Achar a equação da circunferência neste circulo.

Resposta

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x²+y²-8x-10y+16=0

[petrasMOD]

AngelitaB,
[tex3]coeficiente ~angular~ da~ reta~ r: 3x + 4y - 57=0\rightarrow y = -\frac{3x}{4}+\frac{57}{4}\\
4y = -3x + 57\rightarrow y = -\frac{3x}{4}+\frac{57}{4}\rightarrow m_r=-\frac{3}{4}\\

m_s = -\frac{1}{m_r}=-\frac{1}{-\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\rightarrow s: y\\

s~ passa~ por~ (-2,-3):-3=\frac{4.(-2)}{3}+b\rightarrow b = - \frac{1}{3}\rightarrow \boxed{s: y = \frac{4x}{3}-\frac{1}{3}}\\
\text{ reta que contem o diamêtro}\\
m_t =m_r\\
t~ passa~ por~ (\frac{7}{3},0):0=-\frac{(7.3)}{3.4}+b\rightarrow b = \frac{7}{4}\rightarrow \boxed{t: y = -\frac{3x}{4}+\frac{7}{4}}\\
\text{Distância entre retas paralelas}\\
d(r,t) = \frac{|c-c|'}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|57-7|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{50}{5} = 10 \therefore\boxed{Raio(R) = \frac{10}{2}=5}\\\\
s\cap t: \frac{4x-1}{3}=\frac{-3x+7}{4}\rightarrow x =1\rightarrow y = \frac{4.1}{3}-\frac{1}{3}\therefore y = 1 (1, 1)\\
s\cap r:\frac{4x-1}{3}=\frac{-3x+57}{4}\rightarrow x = 7\rightarrow y = \frac{4.7}{3}-\frac{1}{3}\therefore y = 9(7,9)\\
Centro = Ponto~Médio (\frac{1+7}{2}, \frac{9+1}{2}) = (4, 5)\\
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\rightarrow (x -4)^2+(y-5)^2=5^2\rightarrow \\x^2-8x+16+y^2-10y+25=25\\
\boxed{\color{red}x^2-8x+16+y^2-10y}

[/tex3]