Ensino Fundamental ⇒ Circulos tangentes externamente. Tópico resolvido

[geobson]

B, P e T são pontos de tangência; se BD=2, BT=4 e PT=6, calcule AB.
A)10
B)5
C)7,5
D)12
E)9

Resposta

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A

[FelipeMartinMOD]

Seja [tex3]B'[/tex3] o segundo encontro de [tex3]BT[/tex3] com o [tex3](ABDP)[/tex3].

[tex3]TP^2 = TB \cdot TB' \iff 36 = 4 \cdot B'T \iff TB' = 9 \iff BB' = 5[/tex3] o desenho está errado, pois os círculos são homotéticos por B na razão: [tex3]\frac{BT}{BB'} = \frac45[/tex3].

Seja então [tex3]D'[/tex3] o segundo encontro de [tex3]DB[/tex3] com o círculo da esquerda, então:

[tex3]BD' = \frac54 BD = \frac52[/tex3]. A potência de [tex3]D[/tex3] em relação ao círculo da esquerda é:

[tex3]DB \cdot DD' = 2 \cdot (2+\frac52) = 4 + 5 = 9 \iff DT = 3 \implies TA = \frac{PT^2}{DT} = 12[/tex3]

dá pra matar com uma lei dos cossenos, mas talvez seja mais fácil a semelhança [tex3]\triangle ATB \sim \triangle ACT[/tex3]:

[tex3]\frac{AB}{AT} = \frac{AT}{AC}[/tex3], como [tex3]BC = \frac45 AB \implies AC = \frac95 AB[/tex3]

[tex3]AB \frac3{\sqrt5} = AT \iff AB = 4\sqrt5[/tex3]

[geobson]

FelipeMartin, obrigado .

Inconsistência de gabarito , pra variar.