IME / ITA ⇒ (ITA - 2002) Geometria Analítica

[triplebig]

Considere a região do plano cartesiano [tex3]xy[/tex3] definida pela desigualdade [tex3]x^2+4x+y^2-4y-8=0\leq 0[/tex3] .

Quando esta região rodar um ângulo de [tex3]\frac{\pi}{6}[/tex3] radianos em torno da reta [tex3]x+y=0[/tex3] , ela irá gerar um sólido de superfície externa total com área igual a

[tex3]a)\;\frac{128}{3}\pi\\
b)\;\frac{128}{4}\pi\\
c)\;\frac{128}{5}\pi\\
d)\;\frac{128}{6}\pi\\
e)\;\frac{128}{7}\pi\\[/tex3]

Resposta

---

A

[ALDRINMOD]

Resolução que peguei de um site.

A região do plano cartesiano [tex3]xy[/tex3] definida pela desigualdade [tex3]x^2+y^2+4x-4y-8 \leq 0[/tex3] é um círculo de raio [tex3]R=4[/tex3], e cujo centro [tex3]C(-2;2)[/tex3] pertence à reta de equação [tex3]x+y=0[/tex3]

figura 1.GIF (4.02 KiB) Exibido 3920 vezes

Quando este círculo rodar um ângulo de [tex3]\frac{\pi}{6}[/tex3] radianos em torno dessa reta irá gerar um sólido composto por duas cunhas esféricas congruentes de [tex3]R=4[/tex3] e ângulo equatorial de medida [tex3]\frac{\pi}{6}[/tex3], conforme a figura seguinte.

figura 2.GIF (9.29 KiB) Exibido 3920 vezes

A área total [tex3]S[/tex3] desse sólido é dada por:

[tex3]S=2.\frac{\frac{\pi}{6}}{2\pi}.4\pi.R^2+4.\frac{\pi.R^2}{2}[/tex3]
[tex3]S=\pi.R^2(\frac{2}{3}+2) \to S=\frac{8}{3}\pi.R^2[/tex3]

Assim:

[tex3]S=\frac{8}{3}\pi4^2 \to S=\frac{128\pi}{3}[/tex3]