Observe
Verificação:
O subespaço formado por vetores é o conjunto de todas as combinações lineares deles , então , dito isso , vamos verificar se tem alguma combinação linear de ( 2 , - 1 , 3 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 , 0 ) e ( 0 , 1 , - 1 , 0 ) que dê o vetor ( - 1 , - 3 , 2 , 0 ). Sendo assim, temos que
( - 1 , - 3 , 2 , 0 ) = k.( 2 , - 1 , 3 , 0 ) + t.( 1 , 0 , 1 , 0 ) + m.( 0 , 1 , - 1 , 0 ).
( - 1 , - 3 , 2 , 0 ) = ( 2k + t , - k + m , 3k + t - m , 0 )
que resulta no seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
2k + t = - 1 \\
- k + m = - 3 \\
3k + t - m = 2 \\
0 = 0
\end{cases}[/tex3]
[tex3]L_{1} - L_{2}[/tex3] :
2k + t - 3k - t + m = - 1 - 2
- k + m = - 3
Note que essa equação é igual à segunda, daí
k = 3 + m ( I )
Substitua ( I ) na primeira equação, você irá obter,
t = - 7 - 2m.
Isso significa dizer que o parâmetro
m é um parâmetro livre , ou seja , não há restrição em nada, pois
m pode ser qualquer número real.
Portanto, podemos concluir que o vetor ( - 1 , - 3 , 2 , 0 ) pertence ao subespaço de IR⁴ gerado pelos vetores ( 2 , - 1 , 3 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 , 0 ) e ( 0 , 1 , - 1 , 0 ).
Obs.1
( - 1 , - 3 , 2 , 0 ) = ( 3 + m ).( 2 , - 1 , 3 , 0 ) + ( - 7 - 2m ).( 1 , 0 , 1 , 0 ) + m.( 0 , 1 , - 1 , 0 )
Faça o teste, substitua qualquer valor para m , e você irá perceber que o vetor ( - 1 , - 3 , 2 , 0 ) é gerado pela combinação linear dos vetores ( 2 , - 1 , 3 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 , 0 ) e ( 0 , 1 , - 1 , 0 ) qualquer que seja o valor de m.
Obs.2
Antes o primeiro vetor era ( - 1 , - 3 , 2 , 0 ) , agora ( - 1 , 3 , 2 , 0 ) 
, se for 3 , ficará como exercício para você 
Excelente estudo!
