Olimpíadas ⇒ (AHSME-1996) Valor máximo Tópico resolvido

[Beastie]

Dado que [tex3]x^2+y^2=14x+6y+6[/tex3], qual é o valor máximo possível que [tex3]3x+4y[/tex3] pode ter?

[matbatrobin]

[tex3]x^2+y^2-14x-6y-6=0[/tex3] representa uma circunferência e [tex3]3x+4y[/tex3] uma reta então estamos a procura de um dos pontos que a reta é tangente a circunferência.

[tex3]{-}2xx_c={-}14x\Rightarrow x_c=7 \\ {-}2yy_c={-}6y\Rightarrow y_c=3 \\ r=\sqrt{x^2c+y^2c-p}=\sqrt{49+9+6}=8[/tex3]

[tex3]3x+4y=b\Rightarrow y=-\frac{3}{4}+\frac{b}{4}[/tex3]

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É um triângulo pitagórico, então

[tex3]r=8=5a\Rightarrow a=\frac{8}{5}[/tex3]

Então achando as coordenadas do ponto

[tex3]x=7+3a=7+3\cdot \frac{8}{5}\,\, e \,\,y=3+4a=3+4\cdot \frac{8}{5}[/tex3]

Botando na equação:

[tex3]3x+4y \\ 3(7+3\cdot \frac{8}{5})+4(3+4\cdot \frac{8}{5})=\boxed{73}[/tex3]

[Beastie]

Eu não tenho a solução, mas acho que a sua tá certa.

[triplebig]

Reta [tex3]r[/tex3] : [tex3]3x+4y=k\;\Leftrightarrow\;3x+4y-k=0[/tex3]


[tex3]x^2+y^2-14x-6y-6=0\;\Leftrightarrow\;x^2-14x+49+y^2-6y+9=6+49+9\;\Leftrightarrow \;(x-7)^2+(y-3)^2=64[/tex3]

Que é uma circumferência de raio [tex3]8[/tex3] e centro [tex3](7\,;\,3)[/tex3]

O valor máximo ocorre quando a distância do centro à reta é equivalente ao raio:

[tex3]D_{cr}=\frac{|3(7)+4(3)-k|}{\sqrt{3^2+4^2}}=8\\
\Leftrightarrow\;33-k=\pm40[/tex3]

Os valores possíveis são [tex3]k=13[/tex3] e [tex3]k=73[/tex3] . Este último é o valor máximo.

[Beastie]

Ótimas as duas soluções! Valeu!