(AIME) Trigonometria

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Auto Excluído (ID: 23699)

Mai 2021 31 14:46

(AIME) Trigonometria

Mensagempor Auto Excluído (ID: 23699) » 31 Mai 2021, 14:46

Mensagem por Auto Excluído (ID: 23699) » 31 Mai 2021, 14:46

Seja ABC um triângulo tal que AB = 16, BC = 15 e CA = 14. Seja D o ponto do segmento BC tal que CD = 6. Seja E o ponto de BC tal que CE > CD e <BAE = <CAD. Sabendo que BE = p/q, onde p e q são números inteiros positivos primos entre si, então o valor de q é igual a
a) 461
b) 462
c) 463
d) 464
e) 465

Resposta

C.
Usei a lei dos cossenos em ACD, AEB e ADE.
Depois, encontrei os senos de A, B e C usando Heron + absenC/2
Aí juntando essas fórmulas usando a lei dos senos, fiquei com algo em função de <BAE = <CAD e p/q... Mas não consegui achar o valor de <BAE = <CAE.

Auto Excluído (ID: 23699)

Usuário Excluído 30973

Jun 2025 22 03:37

Re: (AIME) Trigonometria

Mensagempor Usuário Excluído 30973 » 22 Jun 2025, 03:37

Mensagem por Usuário Excluído 30973 » 22 Jun 2025, 03:37

Usuário Excluído 30973

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Últ. msg por NigrumCibum « 31 Mai 2021, 13:35
Enviado em Olimpíadas
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por Auto Excluído (ID: 23699) » 31 Mai 2021, 12:04 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Auto Excluído (ID: 23699)

Sejam a, b e c os três lados de um triângulo, e sejam [tex3]\alpha ,\beta ,\gamma [/tex3], respectivamente, os ângulos opostos. Se a²+b²=1989c², calcule

[tex3]\frac{cotg(\gamma) }{cotg(\alpha )+cotg(\beta )}[/tex3]

Últ. msg

NigrumCibum

O ano da prova está no problema (1989)
geobson2NigrumCibum1Auto Excluído (ID: 23699)1: 3 Resp.; 834 Exibições; Últ. msg por NigrumCibum
31 Mai 2021, 13:35

(AIME - 1985) Área de um Triângulo

Últ. msg por italoemanuell « 29 Set 2007, 13:22
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por rean » 28 Set 2007, 10:16 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

rean

Seja [tex3]P[/tex3] um ponto no interior de um triângulo [tex3]ABC,[/tex3] dividindo-o em seis triângulos, quatro dos quais têm áreas [tex3]40 , 30 ,35[/tex3] e [tex3]84,[/tex3] como mostra a figura.
Calcule a área do triângulo [tex3]ABC.[/tex3]

Últ. msg

italoemanuell

Olá rean, essa questão também caiu na prova do IME de 1990.
italoemanuell1rean1: 1 Resp.; 1821 Exibições; Últ. msg por italoemanuell
29 Set 2007, 13:22

(AIME - 1989) Dízima Periódica

Últ. msg por Rogério Moraes « 15 Fev 2008, 20:50
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Thadeu » 14 Fev 2008, 14:09 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Thadeu

Suponha que [tex3]n[/tex3] é um inteiro positivo e [tex3]d[/tex3] é um dígito na base 10. Calcule [tex3]n[/tex3] se

[tex3]\frac{n}{810}\,=\,0,d25d25d25\ldots[/tex3]

Últ. msg

Rogério Moraes

Pelo enunciado:

[tex3]n \in \mathbb{Z}^{*}_{+}[/tex3] e [tex3]d \in \{0, 1, 2, 3, \ldots, 9\}[/tex3]

[tex3]\frac{n}{810} = 0,d25d25d25\ldots[/tex3]
Logo:

[tex3]\frac{n}{810} = 0,d25 + 0,000d25 + 0,000000d25 + \ldots[/tex3]

\frac{n}{810} =...
Rogério Moraes1Thadeu1: 1 Resp.; 1876 Exibições; Últ. msg por Rogério Moraes
15 Fev 2008, 20:50

(AIME - 1989) Conjectura de Euler

Últ. msg por AnthonyC « 23 Jul 2021, 20:26
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Thadeu » 14 Fev 2008, 14:14 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Thadeu

Uma das conjecturas de Euler foi refutada nos anos [tex3]60[/tex3] por três matemáticos americanos quando eles mostraram que existe um inteiro positivo [tex3]n[/tex3] tal que

[tex3]133^5\,+\,110^5\,+\,84^5\,+27^5\,=\,n^5[/tex3]
Calcule o valor de [tex3]n.[/tex3]

Últ. msg

AnthonyC

Queremos achar [tex3]n\in\mathbb{N}[/tex3], tal que [tex3]133^5\,+\,110^5\,+\,84^5\,+27^5\,=\,n^5[/tex3]. Pra isso, utilizaremos conhecimento de aritmética modular. Primeiro, encontramos os limites de [tex3]n[/tex3]:...
AnthonyC1Thadeu1: 1 Resp.; 1574 Exibições; Últ. msg por AnthonyC
23 Jul 2021, 20:26

(AIME - 1989) Radiciação e Fatoração

Últ. msg por Fernando Jaeger « 15 Fev 2008, 22:48
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 7
por edu_vrb » 07 Jan 2007, 22:37 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

edu_vrb

Calcule [tex3]\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}.[/tex3]

Últ. msg

Fernando Jaeger

Seja [tex3]x =( 31 )( 29 )( 30 )( 28 ) + 1[/tex3]

[tex3]x = (30 + 1)(30 - 1)(29 + 1)(29 - 1) + 1\\ x = (30^2 - 1)(29^2 - 1) + 1\\ x = (30^2)(29^2) - 30^2 - 29^2 + 2\\ x = (30^2)(29^2) - 30^2 - (30 - 1)^2 + 2\\ x = (30^2)(29^2) - 30^2 - (30^2 - 59) + 2\\ x = (30^2)(29^2) - 2\cdot 30^2 + 2.30 + 1\\ x = (30^2)(29^2) - 2\cdot 30(30 - 1) + 1\\ x = (30^2)(29^2) - 2\cdot 29\cdot 30 + 1\\ x = (30\cdot 29 - 1)^2[/tex3]...
DiegoNunes3Rogério Moraes2edu_vrb1Fernando Jaeger1italoemanuell1: 7 Resp.; 5305 Exibições; Últ. msg por Fernando Jaeger
15 Fev 2008, 22:48

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