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No triângulo [tex3]ABC,[/tex3] [tex3]\overline{AB}=12[/tex3] e [tex3]\overline{AC}=8[/tex3]. A bissetriz interna do ângulo em [tex3]A[/tex3] corta o lado [tex3]BC[/tex3] em [tex3]D[/tex3] e a bissetriz externa do mesmo ângulo corta o prologamento do lado [tex3]\overline{BC}[/tex3] em [tex3]E[/tex3]. A razão da área do triângulo [tex3]ACE[/tex3] para a área do triângulo [tex3]ABD[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{8}{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{4}{9}[/tex3]
d) [tex3]\frac{10}{3}[/tex3]
e) [tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

Seja [tex3]\angle DAB = \alpha[/tex3] . A bissetriz externa divide o suplemento do [tex3]\angle CAB[/tex3] em [tex3]2[/tex3] partes iguais. Assim, [tex3]\angle EAC=90^\circ-\alpha[/tex3] . Assim o [tex3]\angle EAD =90^\circ-\alpha+\alpha=90^\circ[/tex3] .

Pelo teorema da bissetríz interna [tex3]\frac{CD}{8}=\frac{DB}{12}\;\Leftrightarrow\;\frac{DB}{CD}=\frac{3}{2}[/tex3] . Isso nos leva a concluir que [tex3]\frac{[ADB]}{[ACD]}=\frac{3}{2}\;\Leftrightarrow\;[ACD]=\frac{2\cdot [ADB]}{3}[/tex3]

Temos também:

[tex3][AEB]=\frac{1}{2}\cdot EA\cdot 12\cdot \sen (90^\circ+\alpha)=6\cdot EA\cdot \cos \alpha[/tex3]

[tex3][EAC]=\frac{1}{2}\cdot EA\cdot 8 \cdot \sen (90^\circ-\alpha)=4\cdot EA\cdot \cos \alpha[/tex3]

Mas como o todo é a soma das partes:

[tex3][AEB]=[EAC]+[ACD]+[ADB]\;\Leftrightarrow\;[ADB]=6\cdot EA\cdot \cos \alpha-4\cdot EA\cdot \cos \alpha-[ACD]\\
\\
\Leftrightarrow\;[ADB]+\frac{2[ADB]}{3}=2\cdot EA\cdot \cos \alpha\;\Leftrightarrow\;[ADB]=\frac{6\cdot EA\cdot \cos \alpha}{5}[/tex3]

Assim [tex3]\frac{[EAC]}{[ADB]}=\dfrac{4\cdot EA\cdot \cos \alpha}{\dfrac{6\cdot EA\cdot \cos \alpha}{5}}=\frac{10}{3}[/tex3]

Letra d)