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A curvatura de r(t)=(cos(t)+sen(t))i +(sen(t)-cos(t))j +3tk no ponto (-1,1,0) é aproximadamente:

a)0,1785
b)0,1097
c)0,1529
d)0,1285

Observe

Eba!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Mais uma questão com multipla escolha

Solução:

Vamos determinar a primeira e a segunda derivada da curva r( t ), vem;

r'( t ) = ( - sen ( t ) + cos ( t ) , cos( t ) + sen( t ) , 3 )

e

r''( t ) = ( - cos ( t ) - sen ( t ) ).i + ( - sen( t ) + cos ( t ) ).j + 0.k

Perceba que, para a função vetorial r( t ), no ponto ( 1 ,
- 1 , 0 ) temos t = 0. Logo , para esse valor de t, temos:

Obs.

( cos(t) + sen(t) , sen(t) - cos(t) , 3t ) = ( 1 , - 1 , 0 )

As equações paramétricas são:

x = cos(t) + sen(t) , y = sen(t) - cos(t) , z = 3t


r'( 0 ) = ( - sen ( 0 ) + cos (0) , cos( 0 ) + sen(0) , 3 )

r'( 0 ) = ( 1, 1 , 3 ).

Ainda;

r''( 0 ) = ( - cos ( 0 ) - sen (0) , - sen( 0 ) + cos (0) , 0 )

r''( 0 ) = ( - 1 , 1 , 0 ).

Devemos calcular o módulo do vetor tangente r'( 0 ) , pois seu valor será utilizado depois para calcular a curvatura em t = 0.

| r'( 0 ) | = √( 1² + 1² + 3² ) = √( 1 + 1 + 9 )

| r'( 0 ) | = √11


Precisamos obter também o produto vetorial r'( t ) × r''( t ) em t = 0. Temos:

r'( 0 ) × r''( 0 ) = [tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
i & j & k \\
1 & 1 & 3\\
-1 & 1 & 0
\end{array} \right][/tex3]

r'( 0 ) × r''( 0 ) = ( 0 - 3 ).i + ( - 3 - 0 ).j + ( 1 + 1 ).k

r'( 0 ) × r''( 0 ) = ( - 3 , - 3 , 2 ).

O módulo do produto vetorial é :

| r'( 0 ) × r''( 0 ) | = √[ ( - 3 )^2 + ( - 3 )^2 + 2² ] = √( 9 + 9 + 4 )

| r'( 0 ) × r''( 0 ) | = √22.

Agora , basta substituir esses valores obtidos na fórmula da curvatura, temos:

k( 0 ) = | r'( 0 ) × r''( 0 ) |/| r'( 0 ) |^3 = ( √22 )/( √11 )^3 = (√22)/( √11.√11² ) = ( √2 )/11 = 0,1285

Portanto, a curvatura é k( 0 ) = 0,1285 , alternativa d)


Excelente estudo!