Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1985) Divisão Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O resto da divisão por [tex3]4[/tex3] do produto [tex3]1843 \time 2553 \time 7825[/tex3] é

a) [tex3]0[/tex3].
b) [tex3]1[/tex3].
c) [tex3]2[/tex3].
d) [tex3]3[/tex3].
e) [tex3]4[/tex3].

[fabit]

Fazendo a conta módulo 4:

1843=3
2553=1
7825=1

[tex3]3\times1\times1=3[/tex3]

Letra D

[Natan]

Não entendi, pode me explicar?

[triplebig]

[tex3]\frac{1843}{4}\text{ deixa resto 3}\\
\frac{2553}{4}\text{ deixa resto 1}\\
\frac{7825}{4}\text{ deixa resto 1}[/tex3]

[tex3]\frac{1843\cdot 2553\cdot 7825}{4}=\frac{1843}{4}\cdot \frac{2553}{4}\cdot \frac{7825}{4}[/tex3]

O resto final será o produto dos restos, [tex3]3\cdot 1\cdot 1=3[/tex3]

[fabit]

Algumas noções matemáticas são como a tecnologia. Elas vão se aprimorando.

Exemplo:

Qual é o critério de divisibilidade por 3 que a gente ensina no primário? Você não manda somar TODOS os algarismos e, no fim, ver se a soma é ou não é divisível por 3? Pois é. Um número como 3.690.999.303.066 daria um trabalhão, mas ele OBVIAMENTE é divisível por 3, porque CADA algarismo é 0, 3, 6 ou 9.

Então, um aluno mais esperto pode desenvolver uma "versão 2.0" e começar a pular os zeros. Outro vem e lança a versão 3.0 que pula também os 3, 6 e 9, e aí vem um outro aluno lança a versão 4.0, que descarta a "gordura múltipla de 3" das somas parciais. Exemplo: 12.357.809.777.211.322 é feito 1+2 (deu 3, descarta 3 e continua) 0+3 (descarta 3) 0+5 (descarta 3) 2+7 (descarta 9) 0+8 (descarta 6) 2+7 (note que pulamos o 0 e o 9). Vem a versão 5.0 que reconhece que podemos pular o "777" pois é 3x7=21. E por aí vai. O pulo do gato é que o professor deve ensinar os alunos a serem "espertos" nesse sentido, mas isso é uma outra história...

Primeiro, a gente ensina a congruência assim:

Existem quatro formas possíveis de um número se comportar na divisão por 4, de acordo com o resto da divisão: ou ele é múltiplo de 4, ou deixa resto 1, ou deixa resto 2, ou deixa resto 3. Como podemos representar algebricamente essas situações? Simples. É 4k ou 4k+1, ou 4k+2 ou 4k+3.

No caso do problema proposto, 1843 = 1840 + 3, sendo 1840 um óbvio múltiplo de 4. Logo 1843 é da forma 4k+3.

Vendo que os outros são da forma 4k+1 (com outros valores de k) você monta o produto

[tex3]1843\times2553\times7825=(4k_1+3)(4k_2+1)(4k_3+1)[/tex3].

Fazendo só a distributiva dos dois primeiros parênteses: [tex3](4k_1+3)(4k_2+1)=16k_1k_2+4k_1+12k_2+3[/tex3]

Como dá pra por 4 em evidência em todos os termos exceto o último, isso equivale a [tex3]4k_4+3[/tex3]

Dá pra perceber que só o resto importa. Em Álgebra, você abrevia a notação e começa a escrever [tex3]\overline{0}[/tex3], [tex3]\overline{1}[/tex3], [tex3]\overline{2}[/tex3] e [tex3]\overline{3}[/tex3] no lugar de [tex3]4k[/tex3], [tex3]4k+1[/tex3], [tex3]4k+2[/tex3] e [tex3]4k+3[/tex3].

Olha como fica a "tabuada módulo 4":

[tex3]\boxed{\begin{array}{|c|c|c|c|c}\times&\overline{0}&\overline{1}&\overline{2}&\overline{3}\\
\overline{0}&\overline{0}&\overline{0}&\overline{0}&\overline{0}\\\overline{1}&\overline{0}&\overline{1}&\overline{2}&\overline{3}\\\overline{2}&\overline{0}&\overline{2}&\overline{0}&\overline{2}\\\overline{3}&\overline{0}&\overline{3}&\overline{2}&\overline{1}\end{array}}[/tex3]

Aí fica [tex3]\overline{3}\times\overline{1}\times\overline{1}=\overline{3}[/tex3].

Ficou claro?

[ALDRINMOD]

fabit, show de bola sua explanação.

Abraço.

[Natan]

Muito obrigado pela explicação fabit, mais uma pergunta: e se fosse a soma teria como fazer por módulos?

[fabit]

Descubra!

O que sua intuição te diz? Decida com a intuição antes de fazer testes.

Para testar, escolha alguns exemplos numéricos. Se falhar, falhou. Se funcionar, monte uma tabela semelhante à tabuada que montei.

O pulo do gato é que o professor deve ensinar os alunos a serem "espertos" nesse sentido, mas isso é uma outra história...