IME / ITA ⇒ (AFA - 1998) Geometria Plana Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Dois vértices de um triângulo eqüilátero pertencem a dois lados de um quadrado cuja área é [tex3]1\text{ m^2}[/tex3]. Se o terceiro vértice do triângulo coincide com um dos vértices do quadrado, então, a área do triângulo, em [tex3]m^2[/tex3], é

a) [tex3]2\sqrt{3}-1[/tex3].
b) [tex3]2\sqrt{3}+1[/tex3].
c) [tex3]{-}3+2\sqrt{3}[/tex3].
d) [tex3]3+2\sqrt{3}[/tex3].

[Thales Gheós]

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[tex3]\frac{1}{x}=\cos (15)\\\frac{1}{x}=\cos \(\frac{30}{2}\)[/tex3]

[tex3]\cos ^2\(\frac{\alpha}{2}\)=\frac{1+\cos (\alpha)}{2}\,\rightarrow\, x^2=\frac{4}{2+\sqrt{3}}[/tex3]

a altura do triângulo é:

[tex3]h^2=x^2-\frac{x^2}{4}\rightarrow\,h^2=\frac{3x^2}{4} \rightarrow\,h^2=\frac{3}{2+\sqrt{3}}[/tex3]

a área é: [tex3]A=\frac{1}{\cancel{2}}\cdot\sqrt{\frac{3}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{\cancel{4}}{2+\sqrt{3}}}\rightarrow\, A=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}[/tex3]

[tex3]A=\frac{\sqrt{3}\cdot \(2-\sqrt{3}\)}{\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)}\rightarrow\,\boxed{ A=2\sqrt{3}-3}[/tex3]