Ensino Superior ⇒ (Michael Spinak, "Calculus") Prova por Indução Tópico resolvido

[Napoleão]

Prove a seguinte fórmula por indução:
(ii) [tex3]1^3+...+n^3=(1+...+n)^2[/tex3]

Olá, estou estudando este livro do título do tópico. Especificamente esta questão é a número 1 se encontra no capítulo 2.
Não acredito ter entendido direito a prova por indução, se alguém possuir algum conteúdo para me passar sobre o assunto eu agradeceria.

Consegui começar o raciocínio:
Se [tex3]1^3+...+n^3=(1+...+n)^2[/tex3] e [tex3]1^3+...+k^3=(1+...+k)^2[/tex3] são verdadeiras,
então [tex3]1^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+...+k)^2+(k+1)^3[/tex3] deve ser verdadeiro
Entretanto não consegui desenvolver o lado para a direita da igualdade. Infelizmente o livro não traz o gabarito para esta questão.

[Cardoso1979]

Observe

Uma prova:

Como 1³ = 1² , a fórmula é verdadeira para n = 1. Suponha que a fórmula seja verdadeira para n = k( use essa H.I. na tese ). Então

[ 1 + . . . + k + ( k + 1 ) ]^2 = ( 1 + . . . + k )^2 + 2.( 1 + . . . + k ).( k + 1 ) + ( k + 1 )^2 = 1³ + . . . + k³ + [tex3]2
\frac{k(k+1)}{2}[/tex3].( k + 1 ) + ( k + 1 )^2 = 1³ + . . . + k³ + ( k³ + 2k² + k ) + ( k² + 2k + 1 ) = 1³ + . . . + k³ + ( k + 1 )^3 , logo a fórmula é verdadeira para n = k + 1. C.q.p.


Outra maneira:

I - A proposição é válida para n = 1, pois 1³ = 1²

I I - Se a proposição é válida para n = k ( H.I. )então

1³ + 2³ + . . . + k³ = ( 1 + 2 + . . . + k )^2

Somando ( k + 1 )^3 Por quê? em ambos os membros então

1³ + 2³ + . . . + k³ + ( k + 1 )^3 = ( 1 + 2 + . . . + k )^2 + ( k + 1 )^3

Como 1 + 2 + . . . + k = [tex3]\frac{k( k + 1 )}{2}[/tex3]( Verifique!!! ) . Assim, podemos fazer a seguinte substituição

( 1 + 2 + . . . + k )^2 + ( k + 1 )^3 = [tex3]\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2 [/tex3] + ( k + 1 )^3

( 1 + 2 + . . . + k )^2 + ( k + 1 )^3 = [tex3]\frac{( k+1)^2.(k+2)^2}{2^2} [/tex3]

( 1 + 2 + . . . + k )^2 + ( k + 1 )^3 = [tex3]\left[\frac{( k + 1 ).(k+2)}{2}\right]^2 [/tex3]

( 1 + 2 + . . . + k )^2 + ( k + 1 )^3 = [ 1 + 2 + . . . + ( k + 1 ) ]^2

Com isso mostramos que se a proposição é válida para n = k então ela também é válida para n = k + 1. Portanto, pelo princípio de indução a proposição é válida para todo n ≥ 1. C.q.p.

Obs. Tem duas maneiras de resolução, você escolhe aquela de mais fácil compreensão!.

Boa sorte e excelente estudo!

[Cardoso1979]

Vou melhorar a "prova da segunda maneira", não que a mesma esteja incorreta, agora vou deixá-la mais completa e de fácil compreensão.

Essa prova pode ser dividida em duas partes: ( a ) prova do somatório do lado direito e substituição pela fórmula fechada, e ( b ) prova do somatório do lado esquerdo. Sabe-se que a soma 1 + 2 + . . . + n , n ≥ 1, vale [tex3]\frac{n.( n + 1 )}{2}[/tex3]( essa prova pode ser obtida por indução matemática ). Assim , temos que

1³ + 2³ + . . . + n³ = [tex3]\frac{n^2.( n + 1 )^2}{4}[/tex3] , n ≥ 1.

Prova ( por indução matemática ) :

I - Passo base :

Para n = 1 , 1³ = [tex3]\frac{1^2.( 1 + 1 )^2}{4}[/tex3]. O passo base é verdadeiro .

I I - Passo indutivo :

Se a fórmula é verdadeira para n = k , k ≥ 1 então deve ser verdadeira para n = k + 1.

- Hipótese indutiva :

1³ + 2³ + . . . + k³ = [tex3]\frac{k^2.( k + 1 )^2}{4}[/tex3] , k ≥ 1.

- Deve-se mostrar que:

1³ + 2³ + . . . + k³ + ( k + 1 )^3 = [tex3]\frac{ ( k + 1 )^2.( k + 2 )^2}{4}[/tex3] , k ≥ 1.

Sabe-se que:

[tex3]1^3 + 2^3 + . . . + k^3 + ( k + 1 )^3 = \frac{k^2.( k + 1 )^2}{4} + ( k + 1 )^3 [/tex3]

[tex3]= \frac{k^2.( k + 1 )^2}{4} + ( k + 1 ).( k + 1 )^2 [/tex3]

[tex3]= \frac{k^2.( k + 1 )^2}{4} + \frac{4.( k + 1 ).( k + 1 )^2}{4} [/tex3]

[tex3]= \frac{( k + 1 )^2.( k^2 + 4k + 4 )}{4} [/tex3]

[tex3]= \frac{( k + 1 )^2.( k + 2 )^2}{4} [/tex3]

Com isso provamos que se a proposição é válida para n = k então ela também é válida para n = k + 1. Portanto, pelo princípio de indução a proposição é válida para todo n ≥ 1. C.q.p.


Excelente estudo!