Estude! Com Prof. Caju

Dados:

- Um [tex3]\triangle ABC[/tex3]
- Um círculo [tex3]c_1[/tex3] passando por [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3]

Objetivo: Construir o círculo [tex3]c_2[/tex3] que seja tangente a [tex3]c_1[/tex3] exteriormente e aos lados [tex3]BA[/tex3] e [tex3]BC[/tex3]
Sejam:

- [tex3]X,Y[/tex3] e [tex3]T[/tex3] os pontos de contato de [tex3]c_2[/tex3] com [tex3]BC,AB[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] respectivamente.
- [tex3]c_3 = (XTC)[/tex3] e [tex3]c_4 = (YTA)[/tex3]
- [tex3]M = c_3 \cap c_4 \neq T[/tex3]
- [tex3]D = AM \cap c_3 \neq M[/tex3] e [tex3]E = CM \cap c_4 \neq M[/tex3]

1-) Então [tex3]DXY[/tex3] são colineares.
prova: Aplique a recíproca do teorema dos círculos de Miquel no [tex3]\triangle ADY[/tex3], com [tex3]Y \in AY[/tex3], "[tex3]X \in DY[/tex3]" e [tex3]M \in AD[/tex3].

Analogamente, [tex3]EXY[/tex3] são colineares. Logo [tex3]EXYD[/tex3] estão sobre uma mesma reta.

2-) [tex3]EDCA[/tex3] é cíclico.

prova: Sendo [tex3]t_T[/tex3] a reta tangente a [tex3]c_1[/tex3] em [tex3]T[/tex3], tem-se:

[tex3]\angle EAT = \angle TYX = \angle (XT, t_T)[/tex3] e [tex3]\angle TAC = \angle ( CT, t_T)[/tex3] de forma que:
[tex3]\angle XTC = \angle (CT,t_T) + \angle (XT,t_T) = \angle EAT + \angle TAC = \angle EAC = 180^{\circ} - \angle XDC [/tex3]

logo: [tex3]\angle EAC + \angle EDC = 180^{\circ}[/tex3], portanto [tex3]EDCA[/tex3] é cíclico (este é o teorema dos 5 círculos de Lebesgue).

3-) [tex3]M[/tex3] é incentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3].

prova: [tex3]\angle CAD = \angle CED = \angle MEY = \angle MAY = \angle DAB[/tex3], logo [tex3]AM[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]\angle BAC[/tex3]. Analogamente, [tex3]CM[/tex3] é bissetriz do [tex3]\angle BCA[/tex3], de forma que [tex3]M = I[/tex3] é o incentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3]. Está provado então que [tex3]c_3[/tex3] e [tex3]c_4[/tex3] sempre passam pelo incentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3].
4-) [tex3]TI[/tex3] é bissetriz do [tex3]\angle TAC[/tex3].

prova: [tex3]\angle (AT,TI) = \angle IEA = \angle CEA = \angle CDA = \angle (CT,TI)[/tex3]

de forma que a reta [tex3]TI[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]\angle ATC[/tex3].
Pronto: seja [tex3]T'[/tex3] o ponto médio do arco [tex3]\widehat{AC}[/tex3] que não passa por [tex3]T[/tex3], então [tex3]T = T'I \cap c_1 \neq T'[/tex3], [tex3]X = (TIC) \cap BC \neq C[/tex3] e [tex3]Y = (TIA) \cap BA \neq A[/tex3], por fim: [tex3]c_2 = (XYT)[/tex3].