Ensino Médio ⇒ Círculo tangente a outros dois círculos tangentes

[FelipeMartinMOD]

São dados os círculos [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] tangentes interiormente em [tex3]A[/tex3] e dado o círculo [tex3]c_2[/tex3], que é tangente a ambos simultaneamente. Sendo [tex3]I[/tex3] o centro de homotetia interna entre [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3], tem-se sempre que o círculo [tex3]c_3 = \odot(I,IA)[/tex3] é ortogonal a [tex3]c_2[/tex3].

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Sendo [tex3]M = c_0 \cap c_2[/tex3] e [tex3]J = c_1 \cap c_2[/tex3], o teorema de Monge-D'Alembert garante que [tex3]M,J[/tex3] e [tex3]I[/tex3] são colineares.

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Seja [tex3]t_A[/tex3] a reta tangente comum a [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_1[/tex3] por [tex3]A[/tex3], [tex3]t_J[/tex3] a reta tangente comum a [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] por [tex3]J[/tex3] e [tex3]t_M[/tex3] a reta tangente comum a [tex3]c_0[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] por [tex3]M[/tex3], então as três retas concorrem no ponto [tex3]B[/tex3], que é centro radical de [tex3]c_0,c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3]. Seja [tex3]c_4 = \odot(B,BA)[/tex3].

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Então, o teorema de Pitot, garante que [tex3]J[/tex3] e [tex3]M[/tex3] estão em [tex3]c_4[/tex3].

[tex3]c_4[/tex3] é ortogonal a [tex3]c_0[/tex3], por construção, pois [tex3]B \in t_A[/tex3].
[tex3]c_3[/tex3] é ortogonal a [tex3]c_4[/tex3], pois [tex3]B \in t_J[/tex3].
Como [tex3]I[/tex3] está no eixo radical [tex3]MJ[/tex3] entre [tex3]c_4[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3], então [tex3]c_3[/tex3] é ortogonal a [tex3]c_2[/tex3].