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No circuito da figura, cada uma das duas lâmpadas incandescentes idênticas dissipava [tex3]36 W[/tex3] sob uma tensão inicial [tex3]V_1[/tex3] volts mantida pela bateria [tex3](ε ,r)[/tex3].Quando, então, o filamento de uma delas se rompeu (anulando a corrente nessa lâmpada), observou-se que a tensão nas lâmpadas aumentou para o valor [tex3]V_2=\frac{4}{3}V_1[/tex3] volts. Considerando as lâmpadas como resistências comuns, a potência na lâmpada que permaneceu acesa, em watts, é

A) 18
B) 32
C) 36
D) 64
E) 72

Seja [tex3]\mathsf{L}[/tex3] a resistência das lâmpadas.

Primeira situação [tex3]\rightarrow[/tex3]

A corrente que percorre o ramo do gerador (total) é [tex3]\mathsf{i_{t_{1}} \ = \ \dfrac{\varepsilon}{r \ + \ \frac{L}{2}} \ = \ \dfrac{2 \cdot \varepsilon}{2 \cdot r \ + \ L}}[/tex3].

Por cada lâmpada, passa a metade da corrente total, [tex3]\mathsf{i_1 \ = \ \dfrac{i_{t_1}}{2} \ = \ \dfrac{\varepsilon}{2 \cdot r \ + \ L}}[/tex3], e, portanto, a tensão [tex3]\mathsf{V_1 \ = \ L \cdot i_1 \ = \ \dfrac{\varepsilon \cdot L}{2 \cdot r \ + \ L}}[/tex3].

Segunda situação [tex3]\rightarrow[/tex3]

Agora uma das lâmpadas teve o filamento rompido, então só uma lâmpada permanece ativa no circuito.

A nova corrente (agora única porque só há uma malha) é [tex3]\mathsf{i_2 \ = \ \dfrac{\varepsilon}{r \ + \ L}}[/tex3].

A nova tensão nas lâmpadas (veja que ambas continuam conectadas em paralelo mas só uma é ativa no circuito) é:

[tex3]\mathsf{V_2 \ = \ L\cdot i_2 \ = \ \dfrac{\varepsilon \cdot L}{r \ + \ L}}[/tex3].

Temos, do enunciado, que [tex3]\mathsf{V_2 \ = \ \dfrac{4}{3} \cdot V_1:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{\cancel{\varepsilon \cdot L}}{r \ + \ L} \ = \ \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\cancel{\varepsilon \cdot L}}{(2 \cdot r \ + \ L)}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{L \ = \ 2 \cdot r \ \ [\Omega]}}[/tex3]

Voltando à primeira situação [tex3]\rightarrow[/tex3]

Podemos obter a potência em cada lâmpada [tex3]\mathsf{(P_1 \ = \ 36 \ W)}[/tex3] por [tex3]\mathsf{P \ = \ V_1 \cdot i_1:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\cancelto{36}{P} \ = \ \dfrac{\varepsilon \cdot \cancel{L}}{(2 \cdot \cancelto{\frac{\cancel{L}}{2}}{r} \ + \ \cancel{L})} \cdot \dfrac{\varepsilon}{(2\cdot \cancelto{\frac{L}{2}}{r} \ + \ L)}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{\dfrac{\varepsilon^2}{L} \ = \ 144 \ [W]}}[/tex3]

Voltando à segunda situação [tex3]\rightarrow[/tex3]

Temos a potência na lâmpada acesa obtida por [tex3]\mathsf{P_2 \ = \ V_2 \cdot i_2:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{P_2 \ = \ \dfrac{4}{3} \cdot V_1 \cdot \dfrac{\varepsilon}{\cancelto{\frac{L}{2}}{r} \ + \ L}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{P_2 \ = \ \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\varepsilon \cdot \cancel{L}}{\cancel{2} \cdot \cancel{L}} \cdot \dfrac{\cancel{2}}{3 \cdot L}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{P_2 \ = \ \dfrac{4}{9} \cdot \cancelto{144 \ W}{\frac{\varepsilon^2}{L}}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{P_2 \ = \ 64 \ W}}}[/tex3]