Ensino Superior ⇒ Geometria Euclidiana Plana Tópico resolvido

[Let09]

Determine o conjunto de pontos que satisfazem a propriedade de serem equidistantes dos
extremos de um segmento.

[deOliveira]

Pelo título vou assumir que você esteja no plano.

Sejam [tex3](a,b)[/tex3] e [tex3](c,d)[/tex3] os extremos do seguimento. Queremos descrever o conjunto [tex3]\{(x,y)\in\mathbb R^2:d((x,y),(a,b))=d((x,y),(c,d))\}[/tex3].
Se [tex3](a,b)=(c,d)[/tex3] temos evidentemente que [tex3]\{(x,y)\in\mathbb R^2:d((x,y),(a,b))=d((x,y),(c,d))\}=\mathbb R^2[/tex3]. Então, suponha [tex3](a,b)\ne(c,d)[/tex3]

[tex3]d((x,y),(a,b))=d((x,y),(c,d))\\\implies\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=\sqrt{(x-c)^2+(y-d)^2}\\\implies
(x-a)^2+(y-b)^2=(x-c)^2+(y-d)^2\\\implies
x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=x^2-2cx+c^2+y^2-2dy+d^2\\\implies
-2ax+a^2-2by+b^2=-2cx+c^2-2dy+d^2\\\implies
y(-2b+2d)-x(2a-2c)-(-a^2-b^2+c^2+d^2)=0[/tex3]

[tex3]y(-2b+2d)-x(2a-2c)-(-a^2-b^2+c^2+d^2)=0[/tex3] é a equação geral de uma reta. E note que [tex3]\(\frac{a+c}2\,\frac{b+d}2\)[/tex3] pertence a essa reta, logo é uma reta que passa pelo ponto médio do seguimento.

Como [tex3](a,b)\ne(c,d)[/tex3] temos que [tex3]2a-2c\ne0[/tex3] ou [tex3]-2b+2d\ne0[/tex3].

Se [tex3]-2b+2d=0[/tex3] e [tex3]2a-2c\ne0[/tex3] temos que a reta que passa pelo seguimento é paralela ao eixo x e a reta [tex3]y(-2b+2d)-x(2a-2c)-(-a^2-b^2+c^2+d^2)=0[/tex3] será paralela ao eixo y. Portanto a reta será perpendicular ao seguimento.

Analogamente, para o caso [tex3]-2b+2d\ne0[/tex3] e [tex3]2a-2c=0[/tex3]

Se [tex3]-2b+2d\ne0[/tex3] e [tex3]2a-2c\ne0[/tex3] temos:
[tex3]y(-2b+2d)=x(2a-2c)+(-a^2-b^2+c^2+d^2)\\\implies y=\frac{a-c}{-b+d}x+(-a^2-b^2+c^2+d^2)[/tex3]

O coeficiente angular da reta que passa pelo seguimento é dado por [tex3]m=\frac{b-d}{a-c}[/tex3]. Como [tex3]\frac{a-c}{-b+d}\cdot\frac{b-d}{a-c}=-1[/tex3] temos que as retas são perpendiculares.

Portanto, temos que o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos extremos de um seguimento é a reta que passa pelo ponto médio dos extremos e é perpendicular ao seguimento.

Espero ter ajudado.