Pré-Vestibular ⇒ QUESTÃO DE GEOMETRIA ESPACIAL - MAT

[Gabriel000]

(UNCISAL) O poliedro da figura, formado pela união de um cubo com uma pirâmide, tem todas as arestas medindo a. O volume desse poliedro é:

FIGURA ABAIXO


a) [tex3]\frac{(3+\sqrt{2}) a^{3}}{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{(3+\sqrt{3}) a^{3}}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{(6+\sqrt{2}) a^{3}}{6}[/tex3]
d) [tex3]\frac{(6+\sqrt{3}) a^{3}}{6}[/tex3]
e) [tex3]\frac{4a^{3}}{3}[/tex3]

Gabarito: C

SE PUDER EXPLICAR PASSO A PASSO, AGRADEÇO.

[Gabriel000]

Ola @Gabriel000!

Primeiramente, note que o volume total do poliedro será equivalente à soma dos volumes do cubo e da pirâmide, portanto:
[tex3]V=a^3+\frac{1}{3}a^2h[/tex3], em que [tex3]h[/tex3] é a altura da pirâmide.

Note que [tex3]h[/tex3] forma um triângulo retângulo com metade da base da pirâmide e a altura da face da pirâmide, que chamarei de [tex3]x[/tex3]:

1.png (23.59 KiB) Exibido 1280 vezes

Note também que [tex3]x[/tex3] forma um outro triângulo retângulo com a aresta da pirâmide e metade da aresta do cubo:

2.png (5.1 KiB) Exibido 1280 vezes

Portanto, pelo teorema de pitágoras:

[tex3]a^2=\left( \frac{a}{2} \right)^2+x^2[/tex3]
[tex3]x^2=\frac{3}{4}a^2[/tex3]
[tex3]x=\frac{a \sqrt3}{2}[/tex3]

Voltando à altura [tex3]h[/tex3]:

[tex3]x^2=h^2+\left( \frac{a}{2} \right)^2[/tex3]
Substituindo [tex3]x[/tex3]:
[tex3]\left( \frac{a \sqrt3}{2}\right)^2=h^2+\left( \frac{a}{2} \right)^2[/tex3]
[tex3]h^2=\frac34 a^2-\frac14 a^2[/tex3]
[tex3]h=\frac{a\sqrt2}{2}[/tex3]

Portanto, voltando à equação de volume inicial:

[tex3]V=a^3+\frac{1}{3}a^2h[/tex3]
[tex3]V=a^3+\frac{1}{3}a^2 \left( \frac{a\sqrt2}{2} \right)[/tex3]
[tex3]V=a^3+\frac{1}{6}a^3\sqrt2[/tex3]
Colocando [tex3]a^3[/tex3] em evidência:
[tex3]V=a^3 \left(1+\frac{\sqrt2}{6} \right)[/tex3]
[tex3]V=a^3 \left(\frac{6+\sqrt2}{6} \right)[/tex3]
[tex3]V =\frac{(6+\sqrt{2}) a^{3}}{6}[/tex3]

Espero que tenha ajudado!

[Gabriel000]

Sabe dizer como eu posso fazer pro pc reconhecer as equações? Pq pra min fica tudo estranho.

[Gabriel000]

@Gabriel000 Provavelmente porque eu escrevi em LaTeX... Talvez trocar de navegador resolva, o fórum deveria mostrar o LaTeX certinho naturalmente. Se não resolver você deveria entrar em contato com um moderador.

[ragefloyd]

Upei prints com as equações aqui: https://[Utilize a ferramenta de imagens do fórum].com/a/SldtfO7

Achei engraçado não renderizar, porque você mesmo usou LaTeX na post inicial.