Olimpíadas ⇒ (OCM) Geometria Espacial: Esferas Tópico resolvido

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Três faces de um tetraedro regular de aresta 1 são tangentes a uma esfera e o plano que contém a quarta face do tetraedro passa pelo centro da esfera. Determine a superfície total da esfera.

Resposta

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[tex3]\frac{8\pi }{27}[/tex3]

[joaopcarvMOD]

Observe o seguinte anexo:

abc.jpg (40.07 KiB) Exibido 1152 vezes

Usaremos a simetria espacial do tetraedro regular, nomeando seus vértices por [tex3]\mathsf{A, B, C, V.}[/tex3] Seja [tex3]\mathsf{l \ = \ 1}[/tex3] o lado do tetraedro.

Pela disposição do desenho, [tex3]\mathsf{V}[/tex3] é o vértice mais acima, e dele desenhamos a sua projeção na face [tex3]\mathsf{\triangle ABC}[/tex3] como sendo [tex3]\mathsf{V'. \ \overline{VV'}}[/tex3] é altura do tetraedro.

Sendo a face [tex3]\mathsf{\triangle ABV}[/tex3] equilátera, com [tex3]\mathsf{M}[/tex3] sendo a projeção de [tex3]\mathsf{V}[/tex3] em [tex3]\mathsf{\overline{AB}}[/tex3], temos que esse segmento é altura da face. Logo, [tex3]\mathsf{\overline{MV} \ = \ \dfrac{\cancelto{1}{l} \cdot \sqrt{3}}{2} \ = \ \dfrac{\sqrt{3}}{2}.}[/tex3]

Além disso, pela simetria do tetraedro, [tex3]\mathsf{V'}[/tex3] encontra-se no centro da face [tex3]\mathsf{\triangle ABC}[/tex3], sendo equidistante dos lados e dos vértices dessa face. Temos então que [tex3]\mathsf{\overline{MV'}}[/tex3] é apótema da base: [tex3]\mathsf{\overline{MV'} \ = \ \dfrac{\sqrt{3}}{6}}[/tex3].

Por Pitágoras, também teremos a altura do tetraedro, [tex3]\mathsf{\overline{VV'} \ = \ \dfrac{\sqrt{6}}{3}.}[/tex3]

Tendo todas essas informações, perceba que a esfera do enunciado possui tangências com todas as três "faces laterais" (na disposição do desenho), e sendo [tex3]\mathsf{T}[/tex3] o ponto de tangência (simétrico) em [tex3]\mathsf{\triangle ABV, \overline{TV'} \ = \ R}[/tex3], justamente o raio dessa esfera. Isso porque [tex3]\mathsf{V'}[/tex3] coincide com o centro da esfera, que se dispõe simetricamente pelo tetraedro.

Usando a propriedade da tangência, e destacando [tex3]\mathsf{\triangle MVV'}[/tex3], temos que [tex3]\mathsf{R}[/tex3] é, neste caso, a altura relativa à hipotenusa. Logo, [tex3]\mathsf{R \ = \ \dfrac{\sqrt{6}}{9}.}[/tex3]

A área total da esfera é [tex3]\mathsf{S \ = \ 4 \cdot \pi \cdot R^2:}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{S \ = \ \dfrac{8 \cdot \pi}{27} \ \big[u. A.\big]}}}[/tex3]