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Determine o conjunto imagem e o conjunto domínio dessa função dada por mais de uma setença:
g(x)= [tex3]\begin{cases}
x²+2x +2, se, x \leq 1 \\
2x-1,se, x >1
\end{cases}[/tex3]

Galerinha, a análise de cada função e seus respectivos intervalos resultou nesse gráfico do anexo.

Então amigo, o gráfico e o gabarito que você mandou não é da função que você deu. O gráfico da imagem é da função [tex3]f(x)=\begin{cases}
-x^2+4,~~~~ \text{se } x \leq 1 \\
3x,~~~~ \text{se } x >1
\end{cases}[/tex3]

Vou supor que a função que escrevi é a que você tinha interesse, para eu poder resolver a questão.

Quanto ao domínio, como polinômios estão definidos para qualquer valor de [tex3]x[/tex3], então [tex3]\text{D}(f)=\mathbb{R}[/tex3].

Quanto a imagem:

• Para [tex3]x\gt 1[/tex3], temos que [tex3]f(x)=3x[/tex3] e [tex3]3x>3\cdot1=3[/tex3]. Portanto, para esta parte, temos como imagem [tex3](3,\infty)[/tex3].

• Para [tex3]x\leq 1[/tex3], temos que [tex3]f(x)=-x^2+4[/tex3]. Como temos uma parábola de concavidade para baixo, então a imagem dela vai de [tex3]-\infty[/tex3] até seu ponto máximo. Vemos que [tex3]x^2\geq 0\implies -x^2\leq 0\implies 4-x^2\leq 4[/tex3]. Portanto, temos que [tex3]f(x)\leq 4, \text{ se } x\leq 1[/tex3]. Portanto, para esta parte, temos como imagem [tex3](-\infty,4][/tex3].

Assim, temos [tex3]\text{Im}(f)=(-\infty,4]\cap (3,\infty)=\mathbb{R}[/tex3].