Ensino Superior ⇒ Plano Tangente e Paralelo Tópico resolvido

[bonoone]

Na superfície modelada pela função [tex3]z=f(x, y)=x^2+3y^2-4x+4y-5[/tex3], com [tex3]-10 \leq z \leq 10[/tex3], necessita-se construir um plano tangente, paralelo ao plano de equação [tex3]8x-4y-2z+5=0[/tex3]. A equação do plano a ser construído é:

(A) [tex3]4x+2y-z+24=0[/tex3]

(B) [tex3]4x-2y+z-24=0[/tex3]

(C) [tex3]-4x+2y-z-24=0[/tex3]

(D) [tex3]4x-2y-z-24=0[/tex3]

(E) [tex3]-4x-2y-z+24=0[/tex3]

Gabarito: (D)

Fonte: Q69) QCO - Magistério de Matemática - CA 2020 - Exército Brasileiro.

[Cardoso1979]

Observe

Eba!!!!!! Mais uma questão com alternativas e gabarito

Uma solução:

Como se trata de uma questão de concurso e concurso o tempo é primordial, bastante precioso , então nesse caso para você ganhar tempo , eu vou lhe dá um "bizu" para este caso.

Ora , se a equação do plano a ser determinado é paralelo ao plano 8x - 4y - 2z + 5 = 0 , então ele terá a seguinte característica( forma ):

8x - 4y - 2z + d = 0 ÷ 2

4x - 2y - z + ( d/2 ) = 0

Logo, a única alternativa ( que se encaixa ) com essa "cara" é a alternativa ( D ).

Vamos então a solução...

O vetor normal ao gráfico de z = f( x , y ) = x² + 3y² - 4x + 4y - 5 é [tex3]\vec{n} = \left(\frac{\partial f}{\partial x} , \frac{\partial f}{\partial y} , - 1\right)[/tex3] = ( 2x - 4 , 6y + 4 , - 1 ). Além disso, como pede-se que o plano tangente à f no ponto ( xo , yo, zo ) seja paralelo ao plano 8x - 4y - 2z + 5 = 0, cujo vetor normal é [tex3]\vec{v}[/tex3] = ( 8 , - 4 , - 2 ) , tem-se que [tex3]\vec{n} = \lambda \vec{v}[/tex3] , logo:

[tex3]\vec{n} = \lambda. \vec{v}[/tex3] →

( 2xo - 4 , 6yo + 4 , - 1 ) = λ.( 8 , - 4 , - 2 )

Logo,

λ = 1/2 , 2xo - 4 = 4 → xo = 4 e 6yo + 4 = - 2 → yo = - 1 , assim, o ponto é ( xo , yo , zo ) = ( 4 , - 1 , - 6 ). Desse modo, a equação do plano tangente à f no ponto ( 4 , - 1 , - 6 ) é:

[tex3]\vec{v}[/tex3].( x - 4 , y + 1 , z + 6 ) = 0

( 8 , - 4 , - 2 ).( x - 4 , y + 1 , z + 6 ) = 0

8x - 32 - 4y - 4 - 2z - 12 = 0

8x - 4y - 2z - 48 = 0 ÷ 2

4x - 2y - z - 24 = 0 , alternativa ( D )

Obs.

zo = 16 + 3 - 16 - 4 - 5 → zo = - 6.




Excelente estudo!

[bonoone]

Boa tarde, por que o [tex3]\lambda=\frac
{1}{2}[/tex3]?

[Loreto]

Boa tarde, por que o [tex3]\lambda=\frac
{1}{2}[/tex3]?

Olá, observer que em
[tex3]
( 2xo - 4 , 6yo + 4 , - 1 ) = λ.( 8 , - 4 , - 2 )
[/tex3]

temos,

[tex3]2xo - 4 = 8λ[/tex3]
[tex3]6yo + 4 = - 4λ[/tex3]
[tex3]-1 = λ(-2)[/tex3] [tex3]\rightarrow λ=\frac{1}{2} [/tex3]

[bonoone]

Boa tarde, por que o [tex3]\lambda=\frac
{1}{2}[/tex3]?

Olá, observer que em
[tex3]
( 2xo - 4 , 6yo + 4 , - 1 ) = λ.( 8 , - 4 , - 2 )
[/tex3]

temos,

[tex3]2xo - 4 = 8λ[/tex3]
[tex3]6yo + 4 = - 4λ[/tex3]
[tex3]-1 = λ(-2)[/tex3] [tex3]\rightarrow λ=\frac{1}{2} [/tex3]

Entendi, não tinha observado a última coordenada, agradeço a paciência.

[Cardoso1979]

Boa tarde, por que o [tex3]\lambda=\frac
{1}{2}[/tex3]?

Olá, observer que em
[tex3]
( 2xo - 4 , 6yo + 4 , - 1 ) = λ.( 8 , - 4 , - 2 )
[/tex3]

temos,

[tex3]2xo - 4 = 8λ[/tex3]
[tex3]6yo + 4 = - 4λ[/tex3]
[tex3]-1 = λ(-2)[/tex3] [tex3]\rightarrow λ=\frac{1}{2} [/tex3]

[bonoone]

Estava revisando e estou com uma dúvida.

Por que a coordenada de z = -1 no vetor normal à superfície z = f( x , y ) = x² + 3y² - 4x + 4y - 5?

[tex3]\left(\frac{\partial f}{\partial x} , \frac{\partial f}{\partial y} , - 1\right)[/tex3]?