Ensino Superior ⇒ Álgebra linear auto -espaço.

[eliz2016]

Bom dia alguém pode me ajudar .

Considere a matriz A = [tex3]\begin{vmatrix}
3& \sqrt{3} \\
\sqrt{3}& 1
\end{vmatrix}[/tex3]


O polinômio característico encontrado foi [tex3]\lambda -4\lambda [/tex3], o autovalores são [tex3]\lambda1=0 [/tex3] e [tex3]\lambda2=4 [/tex3].

Encontre o autos espaço de A.

[Daleth]

Para achar os autoespaços basta encontrar os autovetores, e para isso é preciso os autovalores.

O polinômio característico é dado por:

[tex3]P(\lambda) = det(A-\lambda.In)[/tex3], onde [tex3]In[/tex3] é a matriz identidade e [tex3]\lambda[/tex3] é um autovalor.

No nosso caso a matriz A é: [tex3]\left(\begin{array}{cc} 3& \sqrt{3} \\\sqrt{3}& 1\end{array}\right)[/tex3]

Para encontrar os autovalores basta aplicar a expressão do polinômio característico, onde o determinante é igual a zero:
[tex3]det(A-\lambda.In)=0[/tex3]
[tex3]det(\left(\begin{array}{cc} 3& \sqrt{3} \\\sqrt{3}& 1\end{array}\right)-\lambda.\left(\begin{array}{cc} 1& 0 \\ 0& 1\end{array}\right))=0[/tex3]
[tex3]det(\left(\begin{array}{cc} 3& \sqrt{3} \\\sqrt{3}& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \lambda& 0 \\ 0& \lambda\end{array}\right))=0[/tex3]
[tex3]det\left(\begin{array}{cc} [3-\lambda]& [\sqrt{3}-0] \\ [\sqrt{3}-0]& [1-\lambda]\end{array}\right)=0[/tex3]
[tex3]det\left(\begin{array}{cc} [3-\lambda]& \sqrt{3} \\ \sqrt{3}& [1-\lambda]\end{array}\right)=0[/tex3]

Como enunciado já nos diz quais são os autovalores ([tex3]\lambda1 = 0, \: \: \lambda2 = 4[/tex3]), cada autovalor irá ter um autovetor correspondente, que são descritos resolvendo a equação matricial:

[tex3]\left(\begin{array}{cc} [3-\lambda]& \sqrt{3} \\ \sqrt{3}& [1-\lambda]\end{array}\right).\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)=0[/tex3]

Para [tex3]\lambda1 = 0[/tex3], temos:

[tex3]\left(\begin{array}{cc} 3& \sqrt{3} \\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right).\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)=0[/tex3]
Ou seja:

[tex3]3x+\sqrt{3}y = 0[/tex3]
[tex3]\sqrt{3}x+y = 0[/tex3]

Como o sistema é homogêneo precisamos de soluções não nulas, isso porque os autovetores são não nulos também.
Para contornar o problema do sistema homogêneo escolha qualquer uma das duas equações, depois isole uma variável em relação à outra, como exemplo vou escolher a segunda equação:

[tex3]\sqrt{3}x+y = 0[/tex3]
[tex3]y = -\sqrt{3}x[/tex3] -> Isolei y em relação a x.

Então a minha solução geral do sistema é onde [tex3]x = x[/tex3] e [tex3]y =-\sqrt{3}x[/tex3], isto é:
[tex3](Xo,Yo) = (x,-\sqrt{3}x)[/tex3]
E essa solução é justamente o autovetor, ou seja:

[tex3]V1=(x,-\sqrt{3}x)[/tex3]

O autoespaço vai ser esse autovetor "desconsiderando" esse x. (entre aspas porque esse não é o termo correto):

[tex3]V\lambda1=(1,-\sqrt{3})[/tex3] -> meu autoespaço. Veja que eu apenas retirei o x do autovetor.

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Agora para [tex3]\lambda2=4[/tex3]:

[tex3]\left(\begin{array}{cc} [3-\lambda]& \sqrt{3} \\ \sqrt{3}& [1-\lambda]\end{array}\right).\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)=0[/tex3]
[tex3]\left(\begin{array}{cc} [3-4]& \sqrt{3} \\ \sqrt{3}& [1-4]\end{array}\right).\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)=0[/tex3]
[tex3]\left(\begin{array}{cc} -1& \sqrt{3} \\ \sqrt{3}& -3\end{array}\right).\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)=0[/tex3]
Ou seja:

[tex3]-x+\sqrt{3}y=0[/tex3]
[tex3]\sqrt{3}x-3y=0[/tex3]

Novamente, para contornar o problema do sistema homogêneo escolherei a segunda equação (isso é arbitrário):
[tex3]\sqrt{3}x-3y=0[/tex3]
[tex3]3y=\sqrt{3}x[/tex3]
[tex3]y=\frac{\sqrt{3}x}{3}[/tex3]

Logo, meu autovetor vai ser essa solução do sistema onde [tex3]x = x[/tex3] e [tex3]y =\frac{\sqrt{3}x}{3}[/tex3], isto é:

[tex3](Xo,Yo) = (x,\frac{\sqrt{3}x}{3})[/tex3]
[tex3]V2 = (x,\frac{\sqrt{3}x}{3})[/tex3]

Consequentemente, meu autoespaço vai ser o autovetor sem o x:
[tex3]V\lambda2 = (1,\frac{\sqrt{3}}{3})[/tex3]

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É isso, se ficou alguma dúvida é só falar que vou tentar esclarecer

[eliz2016]

Bom dia muito obrigada.