Olimpíadas ⇒ (USA) Trigonometria Tópico resolvido

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(a1, b1, c1) e (a2, b2, c2) são soluções do sistema

[tex3]\begin{cases}
3\left(x+\frac{1}{x}\right)=4\left(y+\frac{1}{y}\right)=5\left(z+\frac{1}{z}\right) \\
xy+yz+xz=0
\end{cases}[/tex3]

então o valor de
[tex3]36(a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+c_1^2+c^2_2)[/tex3]
é igual a:
a) 72
b) 80
c) 90
d) 98
e) 108

Resposta

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D

[IvanYamasaki]

sabendo que:
[tex3]sen(2\theta) = \frac{2tg(\theta)}{1+tg²(\theta)}\rightarrow tg(\theta)+\frac{1}{tg(\theta)} = \frac{2}{sen(2\theta)} [/tex3]

e considerando
[tex3]x = tg(\alpha)\\y = tg(\beta)\\z = tg(\gamma)[/tex3]

então teremos o sistema:
[tex3]\begin{cases}
\frac{3}{sen(2\alpha)} = \frac{4}{sen(2\beta)} =\frac{5}{sen(2\gamma)}(i)\\
tg(\alpha)tg(\beta) + tg(\beta)tg(\theta) + tg(\alpha)tg(\theta) = 0(ii)
\end{cases}[/tex3]

em [tex3](i)[/tex3] temos a Lei dos Senos:

triangulo.png (7.92 KiB) Exibido 888 vezes

disso podemos concluir:
[tex3]sen(2\alpha) = \pm \frac{3}{5}\\sen(2\beta) = \pm \frac{4}{5}\\sen(2\gamma) = \pm 1[/tex3]


usando [tex3]sen(2\theta) = \frac{2tg(\theta)}{1+tg²(\theta)}[/tex3], temos:
[tex3]tg(\alpha)=\pm 3,\pm \frac{1}{3} \\
tg(\beta)=\pm 2,\pm \frac{1}{2} \\
tg(\gamma)=\pm 1[/tex3]

usando esses resultados em [tex3](ii)[/tex3] concluímos que as únicas triplas que satisfazem o sistema são [tex3](-\frac{1}{3},\frac{1}{2}, 1)[/tex3] e [tex3](\frac{1}{3},-\frac{1}{2}, -1)[/tex3]

portanto
[tex3]36(a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+c_1^2+c^2_2) = \\ 36((-1/3)^2+(1/2)^2 + 1² +(1/3)^2+(-1/2)^2 + (-1)^2) =\\36.\frac{98}{36}=\\98 [/tex3]