Estude! Com Prof. Caju

Se o logarítimo de um número na base [tex3]"n"[/tex3] é [tex3]4[/tex3] e na base [tex3]"n/2"[/tex3] é [tex3]8[/tex3], então esse número está no intervalo

a) [tex3][1,\text{ 50}][/tex3].
b) [tex3][51,\text{ 100}][/tex3].
c) [tex3][101,\text{ 200}][/tex3].
d) [tex3][201,\text{ 500}][/tex3].

[tex3]\log_na=4\\\log_{{\frac{n}{2}}}a=8[/tex3]

[tex3]\log_{{\frac{n}{2}}}a=2.\log_na[/tex3]

[tex3]\log_{{\frac{n}{2}}}a=\log_na^2[/tex3]

[tex3]\frac{\log_aa}{\log_a\frac{n}{2}}=\frac{\log_aa^2}{\log_an}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\log_a\frac{n}{2}}=\frac{2}{\log_an}[/tex3]

[tex3]2\log_a\frac{n}{2}=\log_an\\\log_a(\frac{n}{2})^2=\log_an[/tex3]

[tex3]\frac{n^2}{4}=n\\n^2-4n=0\\\begin{cases}n=0\\n=4\end{cases}[/tex3]

logo [tex3]n=4[/tex3] e [tex3]a=4^4\rightarrow a=128[/tex3] alternativa c)

PS: fiquei com a sensação de que escolhi um caminho longo demais...

Fiz de outro modo, que, como Thales disse, é menos longo:

[tex3]\log_nx=4\\
\log_{\frac{n}{2}}x=8[/tex3]

[tex3]\(\frac{n}{2}\)^8=x\\
n^4=x[/tex3]

[tex3]\frac{n^8}{2^8}=n^4\\
n=4\\
x=n^4\\
x=4^4\\
x=256[/tex3]

[tex3]\boxed{d}[/tex3]

Só para me resgatar:

eu fiz [tex3]4^4=128[/tex3] quando o correto é [tex3]4^4=256[/tex3] alternativa d)