IME / ITA ⇒ (EEAR - 2001) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considere as circunferências que passam pelos pontos [tex3](0,\text{ 0})[/tex3] e [tex3](2,\text{ 0})[/tex3] e que são tangentes à reta [tex3]y=x+2[/tex3] as coordenadas dos centros dessas circunferências são

a) [tex3](1,\text{ 1})[/tex3] e [tex3](1,\text{ -7})[/tex3].
b) [tex3](1,\text{ 1})[/tex3] e [tex3](-7,\text{ 1})[/tex3].
c) [tex3](1,\text{ -7})[/tex3] e [tex3](1,\text{ 7})[/tex3].
d) [tex3](1,\text{ -7})[/tex3] e [tex3](-1,\text{ 7})[/tex3].

Resposta

---

a

[matbatrobin]

[tex3](x-x_c)~2+(y-y_c)^2=r^2 \\ \, \\ (0-x_c)^2+(0-y_c)^2=r^2 \Rightarrow x_c^2+y_c^2=r^2[/tex3]

[tex3](2-x_c)^2+(0-y_c)^2=r^2 \Rightarrow x^2_c+y^2_c-4x_c+4=r^2[/tex3]

[tex3]x^2_c+y^2_c-4x_c+4=x^2_c+y^2_c \Rightarrow x_c=1[/tex3]

Distância entre ponto(o centro da circunferência) e reta ([tex3]r:\,x-y+2=0[/tex3]) vale o raio:

[tex3]d_{Cr}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \, \\ d_{Cr}=\frac{|1x_c-1y_c+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=r \\ x_c^2+y_c^2=\left(\frac{|1x_c-1y_c+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right)^2=r^2 \\ \, \\ x_c=1\Rightarrow \,\, 2(y^2_c+1)=(-y_c+3)^2 \\ \, \\ 2+2y^2_c=y^2c-6y_c+9 \\ y^2_c+6y_c-7=0 \\ y'_c=-7\,\,ou\,\,y''_c=1[/tex3]

[tex3]C_1(1;1)\,\,e\,\,C_2(1;-7)[/tex3]

resposta: Letra a)

[ALDRINMOD]

Uma outra solução:

figura.GIF (3.11 KiB) Exibido 1692 vezes

[tex3]O(0,0)[/tex3]; [tex3]B(2,0)[/tex3]; [tex3]r:\text{ y=x+2}[/tex3]

[tex3]\overline{OB}[/tex3] é corda [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]C[/tex3] pertence à mediatriz de [tex3]\overline{OB}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]C \in s[/tex3], sendo [tex3]s:\text{ x=1} \Rightarrow C(1,y_C)[/tex3].

Para que as circunferências sejam tangentes a [tex3]r[/tex3], é necessário que [tex3]d_{C,r}=d_{C,0}[/tex3]:

[tex3]\frac{|1.1-1.y_C+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{(1-0)^2+(y_C-0)^2}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\frac{|3-y_C|}{\sqrt{2}}=\sqrt{1+y_C^2}[/tex3] [tex3]\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\Rightarrow y_C^2+6y_C-7=0 \Rightarrow \{y_C=1\\ou\\y_C=-7[/tex3]

Assim, [tex3]C(1,1)[/tex3] ou [tex3]C'(1,-7)[/tex3].

Gelson Iezzi