IME / ITA ⇒ (ITA - 1974) Logarítmos Tópico resolvido

[sommer]

Sendo a1, a2, ..., an números reais, o maior valor de n tal que as igualdades ao lado são verdadeiras é:

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a) n = 3 b) n = 4 c) n = 5 d) n = 6 e) n.d.a.

Resposta

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a) n = 3

eu vi uma resolução em que usavam os valores de calculadora dos logs, mas deve haver algum jeito de fazer sem né, agradeço desde já

[csmarceloMOD]

[tex3]10^6<1234578<10^7[/tex3]

[tex3]\large\log_{10}123478=a_1\implies10^{a_1}=1234578[/tex3]

[tex3]\large\log_{10}a_1=a_2\implies10^{a_2}=a_1\implies10^{10^{a_2}}=1234578[/tex3]

[tex3]\large\log_{10}a_2=a_3\implies10^{a_3}=a_2\implies10^{10^{10^{a_3}}}=1234578[/tex3]

Seguindo a lógica, temos que:

[tex3]\large10^{10^{10^{...^{10^{a_n}}}}}=1234578[/tex3], onde o 10 aparece [tex3]n[/tex3] vezes.

A restrição é que [tex3]a_n[/tex3] é o primeiro valor negativo possível, pois não existe logaritmando negativo.

[tex3]\large n=1\implies10^{a_1}=1234578\implies 6< a_1<7[/tex3]

[tex3]\large n=2\implies10^{10^{a_2}}=1234578\implies 6< 10^{a_2}<7\implies0< a_2<1[/tex3]

[tex3]\large n=3\implies10^{10^{^{10^{a_3}}}}=1234578\implies 6< 10^{10^{a_3}}<7\implies0< 10^{a_3}<1\implies a_3<0[/tex3]

[sommer]

muitíssimo obrigada!!