Ensino Fundamental ⇒ Olá, mesmo sabendo que a questão foi anulada, gostaria da resolução dela, se puder, não sei como fazer por congruência

[papiroinsano1]

Colégio Naval 2009 Dado o número [tex3][(2009)^{40}-1]^{40}-2010[/tex3], analise as afirmativas a seguir

I- N é divisível por 2008

II- N é divisível por 2009

III- N é divisível por [tex3](2009)^{40}-2010[/tex3]

a) Apenas a afirmativa I é verdadeira

b) apenas a afirmativa II é verdadeira

c) apenas a afirmativa III é verdadeira

d) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras

e) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras

Resposta

---

gabarito letra e

[papiroinsano1]

Saudações, @papiroinsano1. Resolvi essa questão um dia desses no livro dos mestre Kernowsky e Ivan, preparando-me para a EPCAR. Acredito que essa questão não foi anulada, mas se foi, poderia dizer o motivo? Fiquei curioso.

Resolução:

I) Colocando os valores em (mod 2008):

[tex3]2009^{40}≡1(mod2008)[/tex3]
[tex3]2010≡2(mod2008)[/tex3]
Temos: [tex3][1(mod2008)^{40}-1(mod2008)]^{40}-2(mod2008)[/tex3]
=> [tex3]-2(mod2008)[/tex3]

Portanto, a expressão não é divisível por 2008 pois deixa resto.

II) Colocando os valores em (mod 2009)
[tex3]2009^{40}≡0(mod2009)[/tex3]
[tex3]2010≡1(mod2009)[/tex3]

Temos: [tex3][0(mod2009)^{40}-1(mod2009)]^{40}-1(mod2009)[/tex3]
[tex3][-1mod(2009)]^{40}-1(mod2009)[/tex3]
=> [tex3]0(mod2009)[/tex3]

Portanto, a expressão é divisível pois deixa resto zero.

III) Manipulando a informação dada:
[tex3]2009^{40}-2010≡0(mod[2009^{40}-2010])[/tex3]
[tex3]2009^{40}≡2010(mod[2009^{40}-2010])[/tex3]

A partir disso, podemos resolver a congruência:

[tex3][2010(mod[2009^{40}-2010])-1(mod[2009^{40}-2010])]^{40}-2010(mod[2009^{40}-2010])[/tex3]
[tex3][2009(mod[2009^{40}-2010])]^{40}-2010(mod[2009^{40}-2010])[/tex3]
[tex3]2010(mod[2009^{40}-2010])-2010(mod[2009^{40}-2010])[/tex3]
=> [tex3]0(mod[2009^{40}-2010])[/tex3]

Portanto, a expressão é divisível pois deixa resto zero.

As assertivas II e III estão corretas.