Ensino Médio ⇒ Dúvida - Álgebra (Divisão de Números Complexos)

[Emmanto]

Boa noite a todos do fórum. Tenho uma dúvida numa questão sobre divisão de números complexos que não consigo resolver e preciso da ajuda dos colegas.

Determine o valor de [tex3]k\, \in\, \Re[/tex3] para que o número complexo [tex3]z=\frac{1 - 2i}{2 - ki}[/tex3] seja:

a) Real
b) Imaginário puro

Agradeço desde já pelas respostas.

[Natan]

Oi, lá vai:

primeiramente vamos por o complexo na forma algébrica, observe:

[tex3]\frac{1 - 2i}{2 - ki}.\frac{2 + ki}{2 + ki}=\frac{2+ki-4i+2k}{4+k^2}=\frac{2+2k}{4+k^2}+\frac{k-4}{4+k^2}i[/tex3]

[tex3]a)[/tex3]

se ele deve ser um número real então a parte imaginária deve não existir, ou seja ser nula. Logo devemos ter:

[tex3]\frac{k-4}{4+k^2}=0 \Rightarrow k=4[/tex3]

[tex3]b)[/tex3]

de modo análogo para ele ser um imaginário puro a parte real não pode existir, e portanto deve ser nula:

[tex3]\frac{2+2k}{4+k^2} \Rightarrow k=-1[/tex3]