Ensino Superior ⇒ Cálculo 1 - 5 (ajuda no exercício de uma lista)

[fandrade]

Uma ilha está a 2 km ao norte de seu ponto mais próximo da praia (ao longo de uma linha costeira reta). Um visitante está hospedado em uma cabana na costa oeste a 6 km deste ponto. Supondo que esse turista corra a uma taxa de 8km/h e nade a uma taxa de 3km/h, até onde ele deve correr antes de nadar para minimizar o tempo que leva da cabana até a ilha?

[AnthonyC]

Seja [tex3]t[/tex3] o tempo que o visitante demora para sair da cabana e ir até a ilha. Podemos dividir [tex3]t[/tex3] em dois intervalos:
[tex3]t=t_c+t_n[/tex3],
sendo [tex3]t_c[/tex3] o tempo que ele passou correndo e [tex3]t_n[/tex3] o tempo que ele passou nadando. Sabemos que o tempo pode ser calculado dividindo a distância percorrida pela velocidade, logo:
[tex3]t={d_c\over 8}+{d_n\over3}[/tex3]
Seja [tex3]x[/tex3] a distância percorrida em terra pelo turista desde que saiu da cabana. Podemos expressar [tex3]d_c[/tex3] e [tex3]d_n[/tex3] como sendo:

Turista indo pra ilha.png (10.22 KiB) Exibido 761 vezes

[tex3]d_c=x[/tex3]
[tex3]d_n=\sqrt{4+(6-x)^2}[/tex3]
Logo:
[tex3]t={x\over 8}+{\sqrt{4+(6-x)^2}\over3}[/tex3]
Queremos achar o valor de [tex3]x[/tex3] que minimiza o tempo, então derivamos e igualamos a zero:
[tex3]0={d\over dx}\[{x\over 8}+{\sqrt{4+(6-x)^2}\over3}\][/tex3]
[tex3]0={1\over 8}+{-(6-x)\over3\sqrt{4+(6-x)^2}}[/tex3]
[tex3]0=3\sqrt{4+(6-x)^2}+{-8(6-x)}[/tex3]
[tex3]8(6-x)=3\sqrt{4+(6-x)^2}[/tex3]
Fazendo [tex3]6-x=u[/tex3]:
[tex3]8u=3\sqrt{4+u^2}[/tex3]
[tex3]64u^2=9(4+u^2)[/tex3]
[tex3]64u^2=36+9u^2)[/tex3]
[tex3]55u^2=36[/tex3]
[tex3]u^2={36\over55}[/tex3]
[tex3]u=\pm{6\over\sqrt{55}}[/tex3]
[tex3]6-x=\pm{6\over\sqrt{55}}[/tex3]
[tex3]x=6\pm{6\over\sqrt{55}}[/tex3]
Podemos ver que um dos valores obtidos é maior que [tex3]6[/tex3]. Como queremos minimizar o tempo, tomamos a menor distância. Logo:
[tex3]x=6-{6\over\sqrt{55}}\approx 5,1[/tex3]