Ensino Médio ⇒ Questão em anexo - Geometria Analítica

[Flavio2020]

No gráfico,arco mKR = 30 ° e CL = NK = 2. Achar
as coordenadas de E.

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a)(0;[tex3]\frac{4(2-\sqrt{3}}{3}[/tex3])
b)(0;[tex3]\frac{4(4-\sqrt{3}}{13}[/tex3])
c)0;[tex3]\frac{12-\sqrt{3}}{3}[/tex3])
d)(0;[tex3]\frac{2(12-\sqrt{3}}{13}[/tex3])
e)0;[tex3]\frac{2(21-2\sqrt{3}}{13}[/tex3])

Resposta

---

d

[joaopcarvMOD]

Para mim, deu alternativa [tex3]\mathsf{E...}[/tex3] enfim, eu fiz assim:

Sendo [tex3]\mathsf{\angle KR \ = \ 30^\circ, \ \angle CK \ = \ 60^\circ.}[/tex3] Sendo [tex3]\mathsf{\overline{OK} \ = \ \overline{CK} \ = \ R}[/tex3], então o triângulo [tex3]\mathsf{\triangle OCK}[/tex3] é equilátero de lado [tex3]\mathsf{l \ = \ R.}[/tex3] Dado isso, [tex3]\mathsf{\underbrace{\overline{KN}}_{2} \ = \ \dfrac{l}{2} \ \therefore \ l \ = \ R \ = \ 4.}[/tex3]

Dado que [tex3]\mathsf{\overline{OL} \ + \ \cancelto{2}{\overline{LC}} \ =\ \cancelto{4}{R} \ \therefore \ \overline{OL} \ = \ 2.}[/tex3]

Ou seja, [tex3]\mathsf{D \ = \ (0,2).}[/tex3] Do anexo. tem-se que [tex3]\mathsf{B}[/tex3] possui a mesma projeção de [tex3]\mathsf{D}[/tex3] no eixo [tex3]\mathsf{y}[/tex3] (mesmo valor de ordenada), tem como projeção nas abscissas o ponto [tex3]\mathsf{A}[/tex3], que tem abscissa [tex3]\mathsf{= -4}[/tex3]. Logo, [tex3]\mathsf{B \ = \ (-4,2).}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\overline{ON}}[/tex3] é a altura do triângulo equilátero [tex3]\mathsf{\triangle OCK}[/tex3], logo [tex3]\mathsf{\overline{ON} \ = \ 2 \cdot \sqrt{3}.}[/tex3] Para termos as coordenadas do ponto [tex3]\mathsf{N}[/tex3], basta projetarmos esse segmento nos eixos, dado que o mesmo faz [tex3]\mathsf{30^\circ \ + \ 30^\circ \ = \ 60^\circ}[/tex3] com o eixo [tex3]\mathsf{x}[/tex3].

[tex3]\mathsf{x_N \ = \ 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{x_N \ = \ \sqrt{3}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{y_N \ = \ 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{y_N \ = \ 3}[/tex3]

Temos então que [tex3]\mathsf{N \ = \ (\sqrt{3}, 3).}[/tex3]

Achando a reta que contém [tex3]\mathsf{\overline{BN}:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\alpha \ = \ \dfrac{3 \ - \ 2}{\sqrt{3} \ - \ (-4)}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\alpha \ = \ \dfrac{1}{\sqrt{3} \ + \ 4}}[/tex3]

Por fim:

[tex3]\mathsf{\dfrac{y \ - \ 2}{x \ + \ 4} \ = \ \dfrac{1}{\sqrt{3} \ + \ 4}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{y \ = \ \dfrac{x}{\sqrt{3} \ + \ 4} \ + \ \dfrac{12 \ + \ 2\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \ + \ 4}}[/tex3]

A ordenada do ponto [tex3]\mathsf{E}[/tex3] é justamente:

[tex3]\mathsf{y_E \ = \ \dfrac{12 \ + \ 2\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \ + \ 4}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{y_E \ = \ \dfrac{2 \cdot (21 \ - \ 2\cdot \sqrt{3})}{13} \ \approx 2,698}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{E \ = \ \bigg(0, \dfrac{2 \cdot (21 \ - \ 2\cdot \sqrt{3})}{13}\bigg)}}}[/tex3]

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Alguém pode conferir?