Ensino Superior ⇒ (Bulgária) Estudo de funções Tópico resolvido

[SkyWalker17]

(Bulgária) Seja f(x) uma função afim tal que f(0) = –5 e f(f(0)) = –15.

Determine todos os valores de m, para que o conjunto solução da inequação f(x) . f(m - x) > 0 seja um intervalo de comprimento 2.

Gabarito: 3; 7

[rcompany]

[tex3]
f(x)=ax+b,\,a,b\in\mathbb{R}\\[6pt]
\left.\begin{array}{r}f(0)=-5\\f(f(0))=-15\end{array}\right\}\iff\left\{\begin{array}{}b=-5\\a=2\end{array}\right.\\[12pt]
\begin{aligned}
f(x)\cdot f(m-x)>0&\iff(2x-5)(-2x+2m-5)>0\\
&\iff -4x^2+4mx-10m+25>0\\
&\iff\dfrac{m-\sqrt{(m-5)^2}}{2}< x <\dfrac{m+\sqrt{(m-5)^2}}{2}
\end{aligned}\\[48pt]
\begin{array}{rl}
\dfrac{m+|m-5|}{2}-\dfrac{m-|m-5|}{2}=2&\iff|m-5|=2\\
&\iff\left\{\begin{array}{}m=7\\
\text{ou}\\
m=3\end{array}\right.
\end{array}
[/tex3]