Ensino Superior ⇒ Calculo 2 (Derivadas aplicadas) Tópico resolvido

[Flamengoool]

1. A temperatura de uma chapa plana é dada por T(x,y)= [tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3] (T em °C, x e y em cm).

(a) Determine o gradiente da temperatura no ponto (3, 4).
(b) Determine, a partir do ponto (3, 4), a direção em que a temperatura cresce o mais rapidamente possível e qual a taxa de crescimento.
(c) Determine, a partir do ponto (3, 4), a direção em que a temperatura decresce o mais rapidamente
possível e qual a taxa de crescimento.
(d) Determine, a partir do ponto (3, 4), em que direção
devemos seguir a fim de que a temperatura permaneça constante. (e) Calcule T30°(3, 4).

Respostas= sdf.jpg

[Vithor]

@Flamengoool Olá!
Gradiente é o vetor formado pela derivadas parciais no eixo x, y e z ( se houver ). Logo temos que:
[tex3]\frac{d}{dx}{x²+y²}=2x+0[/tex3] e [tex3]\frac{d}{dy}{x²+y²}=0+2y[/tex3]
Logo temos o vetor gradiente definido como (2x, 2y). O gradiente no ponto (3,4) é então [tex3](2*3)i+(2*4)j = 6i+8j[/tex3]

A direção de maior crescimento de uma função em um ponto é a que for igual à direção do gradiente, logo fazemos uma derivada direcional na direção do gradiente para descobrir a taxa de variação da função.
O gradiente é (6,8), já o vetor unitário é só normalizar o gradiente que dá (6/10,8/10), realizando um produto vetorial entre os 2 obtemos 10. Ou seja, a taxa de variação é 10.

c- A direção que a função decresce mais rapidamente é a direção oposta a do gradiente, ou seja, basta inverter o sentido do vetor direção que resultará em (-6/10,-8/10) e realizar o produto vetorial entre o gradiente e ele, e obterás -10.

d- A direção que a função se mantém constante é a mesma da curva de nível da função, que por sua vez é a direção perpendicular ao gradiente. Logo basta obter o vetor unitário perpendicular ao gradiente, que pode ser (-8/10, 6/10), e então realizar o produto vetorial entre o vetor direção e o gradiente que dará 0 ( que é o que esperávamos, dado que a função deve permanecer constante ).

[Flamengoool]

@Flamengoool Olá!
Gradiente é o vetor formado pela derivadas parciais no eixo x, y e z ( se houver ). Logo temos que:
[tex3]\frac{d}{dx}{x²+y²}=2x+0[/tex3] e [tex3]\frac{d}{dy}{x²+y²}=0+2y[/tex3]
Logo temos o vetor gradiente definido como (2x, 2y). O gradiente no ponto (3,4) é então [tex3](2*3)i+(2*4)j = 6i+8j[/tex3]

A direção de maior crescimento de uma função em um ponto é a que for igual à direção do gradiente, logo fazemos uma derivada direcional na direção do gradiente para descobrir a taxa de variação da função.
O gradiente é (6,8), já o vetor unitário é só normalizar o gradiente que dá (6/10,8/10), realizando um produto vetorial entre os 2 obtemos 10. Ou seja, a taxa de variação é 10.

c- A direção que a função decresce mais rapidamente é a direção oposta a do gradiente, ou seja, basta inverter o sentido do vetor direção que resultará em (-6/10,-8/10) e realizar o produto vetorial entre o gradiente e ele, e obterás -10.

d- A direção que a função se mantém constante é a mesma da curva de nível da função, que por sua vez é a direção perpendicular ao gradiente. Logo basta obter o vetor unitário perpendicular ao gradiente, que pode ser (-8/10, 6/10), e então realizar o produto vetorial entre o vetor direção e o gradiente que dará 0 ( que é o que esperávamos, dado que a função deve permanecer constante ).

Obrigado pela ajuda!