Cap. 13 - Relaciones Métricas en Triângulos Rectângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:09 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
9 - Na figura r1 = 9 e r2 = 4. Calcular o raio
da circunferência tangente às semicircunferências e ao lado BC.

Resposta

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C) 0,56

[FelipeMartinMOD]

Sejam:

[tex3]\gamma_1[/tex3] o círculo de raio [tex3]r_1[/tex3]
[tex3]\gamma_2[/tex3] o círculo de raio [tex3]r_2[/tex3]
[tex3]\gamma[/tex3] o círculo de raio [tex3]r[/tex3], tangente exteriormente a [tex3]\gamma_1[/tex3] e [tex3]\gamma_2[/tex3] e tangente à [tex3]BC[/tex3].

[tex3]O_1[/tex3] é o centro de [tex3]\gamma_1[/tex3], [tex3]O_2[/tex3] é o centro de [tex3]\gamma_2[/tex3] e [tex3]O[/tex3] é centro de [tex3]\gamma[/tex3]. Sejam também [tex3]D = \gamma \cap BC[/tex3], [tex3]E = \gamma_2 \cap BC[/tex3], [tex3]F = \gamma_1 \cap BC[/tex3], [tex3]X_1[/tex3] o ponto tal que [tex3]ODFX_1[/tex3] seja um retângulo e [tex3]X_2[/tex3] o ponto do plano tal que [tex3]ODEX_2[/tex3] seja um retângulo.

Pitágoras no [tex3]\triangle O_2OX_2[/tex3]:
[tex3](r_2+r)^2 = ED^2 + (r_2-r)^2 \iff ED^2 = 4r_2r \iff ED = 2 \sqrt{rr_2}[/tex3]

Pitágoras no [tex3]\triangle O_1OX_1[/tex3]:
[tex3]DF = 2\sqrt{rr_1}[/tex3]

Seja por fim [tex3]Y[/tex3] tal que [tex3]O_2EFY[/tex3] seja um retângulo, então Pitágoras no [tex3]\triangle O_1O_2Y[/tex3]:
[tex3]r_1^2 = EF^2 + (r_1-r_2)^2 \iff EF^2 = 2r_1r_2-r_2^2 \iff EF = \sqrt{r_2(2r_1-r_2)}[/tex3].

Então:

[tex3]2\sqrt r (\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}) = \sqrt{r_2(2r_1-r_2)}[/tex3]

donde:

[tex3]2\sqrt r \cdot 5 = \sqrt{4(18-4)} = 2 \sqrt{14}[/tex3], então [tex3]r \cdot 25 = 14 \iff r = \frac{14}{25} = \frac{56}{100} = 0,56[/tex3]

[petrasMOD]

d = distancia entre os pontos de tangência T1 e T2;
R = raio da circunferencia tangente às outras duas
x = a distância entre os pontos de tangência T3 e T2.

[tex3]\mathsf{\triangle AEB(retângulo) \implies d^2=r^2−(r_1−r_2)^2= 56 \therefore d=2\sqrt{14}\\
Por~ \triangle OP1A ~e~ \triangle OP2B:\\
(d−x)^2+(r_1−R)^2=(r_ 1+R)^2\\
x^2+(r_ 2−R)^2=(r_ 2+R)^2\\
\text{Simplificando ambas equações(*):}\\
d^2+x^2−2dx=4Rr_ 1(I)\\
x^2=4r_2R(II)\\
\text{Multiplicando a primera por r1, a segunda por r2 e subtraindo uma da outra}:\\
x^2(r_2−r_1)−2dr_ 2x+d^2r_ 2=0\implies -5x^2-16\sqrt14x+224 =0 \\
\therefore x=\frac{4\sqrt14}{5}\\
(I)-(II):d^2−2dx=4R(r_1−r_2)\\
Substituindo

\boxed{\color{red}R =\frac{14}{25} = 0,56}}[/tex3]
(Solução: martiniano)