Cap. 13 - Relaciones Métricas en Triângulos Rectângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:10 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
10 - Na figura, o triângulo ABC é isósceles
(AC = BC) e "H" é ortocentro deste triângulo.
Calcular MF, se AM . MC = 20 ;EH=2 e HC=6

Resposta

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E) [tex3]\frac{4\sqrt{14}}{3}[/tex3]

[petrasMOD]

Na verdade CB=CA

- BHM são colineares, já que HM é perpendicular à AC.
- AHF são colineares, já que <AFC=90° (AC é diâmetro)
- <ABH = <HAB, já que E é ponto médio e altura (ABH isósceles)
- <ABH = <HAB = <ECF já que enxerga o arco EF
- <ABH = <HAB = <ECF = <BMF já que HMCF é cíclico.
- Portanto BA é paralelo a FM e por conta disso BF=AM e FC=MC
- Semelhança em HCM e ECA:
[tex3]\frac{HC}{AC} = \frac{MC}{EC}[/tex3]
[tex3]\frac{6}{AM+MC} = \frac{MC}{8}[/tex3]
[tex3]28 = MC^2[/tex3]
[tex3]2\sqrt{7} = MC[/tex3]
[tex3]\frac{10}{\sqrt{7}} = AM[/tex3]

- Pitágoras:
[tex3]EC^2+EA^2 = AC^2 [/tex3]
[tex3]EA = \sqrt{\frac{128}{7}}[/tex3]

- Semelhança em ABC e MFC:
[tex3]\frac{MF}{AB} = \frac{MC}{AC}[/tex3]
[tex3]\frac{MF}{2 \sqrt{\frac{128}{7}}} = \frac{2\sqrt{7}}{\frac{24}{\sqrt{7}}}[/tex3]
[tex3]\therefore \boxed{\color{red}MF = \frac{ 8\sqrt{14}}{3}}[/tex3]
(Solução - Ittalo25 - viewtopic.php?f=4&t=89143&p=245808&hili ... 20#p245808)